Bài tập cuối Chương 8 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài tập cuối Chương 8 – Toán 8 – Cánh Diều

 

Bài 1 trang 94 Toán 8 Tập 2: Cho ∆DEG ᔕ ∆MNP, 

 

a) Số đo góc D bằng bao nhiêu độ?

A. 40°.

B. 50°.

C. 60°.

D. 80°.

b) Số đo góc N bằng bao nhiêu độ?

A. 40°.

B. 50°.

C. 60°.

D. 80°.

c) Số đo góc P bằng bao nhiêu độ?

A. 40°.

B. 50°.

C. 60°.

D. 80°.

 

 

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Vì ∆DEG ᔕ ∆MNP nên

(hai góc tương ứng).

b) Đáp án đúng là: C    

Vì ∆DEG ᔕ ∆MNP nên

(hai góc tương ứng).

Do đó 

 

c) Đáp án đúng là: D

Xét tam giác MNP có

(tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra 

 


 

Bài 2 trang 94 Toán 8 Tập 2: Cho ∆DEG ᔕ ∆MNP, DE = 2 cm, DG = 4 cm, MN = 4 cm, NP = 6 cm.

a) Độ dài cạnh EG là

A. 2 cm.

B. 3 cm.

C. 4 cm.

D. 8 cm.

b) Độ dài cạnh MP là

A. 2 cm.

B. 3 cm.

C. 4 cm.

D. 8 cm.

 

Lời giải:

 

Đáp án đúng là: B

a) Vì ∆DEG ᔕ ∆MNP nên

(tỉ số đồng dạng)

Hay \[\frac{2}{4} = \frac{{EG}}{6}\]

Suy ra \[EG = \frac{{2 \cdot 6}}{4} = 3\] (cm).

b) Đáp án đúng là: D

Vì ∆DEG ᔕ ∆MNP nên \[\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{{EG}}{{NP}}\] (tỉ số đồng dạng)

Hay \[\frac{2}{4} = \frac{4}{{MP}}\]

 

Suy ra \[MP = \frac{{4 \cdot 4}}{2} = 8\] (cm).

 


 

Bài 3 trang 94 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tứ giác BMNP là hình bình hành (Hình 102). Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{NP}}{{AB}} = 1\).

Lời giải chi tiết

Vì BMNP là hình bình hành nên \(NP\parallel AB\)\(,\,\,MN = BP,\,\,BM = PN\)

\( \Rightarrow \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{CB}}\) (hệ quả của định lý Thales)

Ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\)

Khi đó: \(\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{NP}}{{AB}} = \frac{{BP}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\) (đpcm)


 

Bài 4 trang 94 Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD. Tia phân giác của góc BAD và BCD cắt nhau tại điểm I (Hình 103). Chứng minh AB.CD = AD.BC.

 

 

Lời giải:

Xét ∆ABD có AI là phân giác của góc BAD nên \[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{AD}}\] (tính chất đường phân giác)

Xét ∆BCD có CI là phân giác của góc BCD nên \[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{CB}}{{CD}}\] (tính chất đường phân giác)

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{CB}}{{CD}},\]

do đó AB.CD = AD.BC.


 

Bài 5 trang 95 Toán 8 Tập 2:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:

a) \(MP\parallel AD,\,\,MP = \frac{1}{4}AD\)

b) \(AQ = \frac{2}{5}AN\)

c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và \(PR = \frac{3}{4}AD\).

 

Lời giải chi tiết

 

Vì M và P lần lượt là trung điểm của AB và AN nên MP là đường trung bình của tam giác ABN.

\( \Rightarrow MP\parallel BN\) hay \(MP\parallel BC\).

Mà ABCD là hình bình hành nên \(AD\parallel BC\)

\( \Rightarrow MP\parallel AD\)

Ta có: \(MP = \frac{1}{2}NB\)

Mà N là trung điểm BC nên \(NB = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow MP = \frac{1}{4}BC \Rightarrow MP = \frac{1}{4}AD\)

b) Vì \(MP\parallel AD\) nên \(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{QP}}{{AQ}}\) (hệ quả của định lý Thales)

 

\( \Rightarrow \frac{{QP}}{{AQ}} = \frac{1}{4} \Rightarrow AQ = 4QP\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(QP = AP – AQ = \frac{1}{2}AN – AQ\) (P là trung điểm AN)

Thay vào (1) ta được \(AQ = 4.\left( {\frac{1}{2}AN – AQ} \right)\)

\( \Rightarrow AQ = 2AN – 4AQ \Rightarrow 5AQ = 2AN \Rightarrow AQ = \frac{2}{5}AN\) (đpcm)

c) Vì M và R lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \(MR\parallel AD,\,\,MR = AD\)

Mà ta đã chứng minh \(MP\parallel AD\) nên ba điểm M, P, R thẳng hàng.

Theo câu a) ta có \(MP = \frac{1}{4}AD \Rightarrow MP = \frac{1}{4}MR\)

\( \Rightarrow PR = \frac{3}{4}MR \Rightarrow PR = \frac{3}{4}AD\).


 

Bài 6 trang 95 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng \(k\).

a) Cho AM, A’M’ lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác ABC, A’B’C’. Chứng minh \(\Delta ABM \backsim \Delta A’B’M’\) và \(\frac{{AM}}{{A’M’}} = k\).

b) Cho AD, A’D’ lần lượt là các đường phân giác của các tam giác ABC, A’B’C’. Chứng minh \(\Delta ABD \backsim \Delta A’B’D’\) và \(\frac{{AD}}{{A’D’}} = k\).

c) Cho AH, A’H’ lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, A’B’C’. Chứng minh \(\Delta ABH \backsim \Delta A’B’H’\) và \(\frac{{AH}}{{A’H’}} = k\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta A’B’C’\) theo tỉ số đồng dạng \(k\) nên \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = k;\,\,\widehat B = \widehat {B’}\)

Mà AM và A’M’ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác ABC và A’B’C’ nên M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BC;\,\,B’M’ = \frac{1}{2}B’C’\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BM}}{{B’M’}} = k\end{array}\)

 

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’ có:

\(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BM}}{{B’M’}}\) và \(\widehat B = \widehat {B’}\)

\( \Rightarrow \Delta ABM \backsim \Delta A’B’M’\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{A’M’}} = \frac{{BM}}{{B’M’}} = k\)

b) Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta A’B’C’\) theo tỉ số đồng dạng \(k\) nên \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}} = k;\,\,\widehat B = \widehat {B’}\)

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A’B’}}{{A’C’}}\)
Vì AD và A’D’ lần lượt là phân giác của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ nên ta có \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) và \(\frac{{D’B’}}{{D’C’}} = \frac{{A’B’}}{{A’C’}}\)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{D’B’}}{{D’C’}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{D’B’}} = \frac{{DC}}{{D’C’}} = \frac{{DB + DC}}{{D’B’ + D’C’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}}\)

Mà \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}}\) (chứng minh ở câu a) nên \(\frac{{DB}}{{D’B’}} = \frac{{AB}}{{A’B’}}\)

Xét tam giác ABD và tam giác A’B’D’ có:

\(\frac{{BD}}{{B’D’}} = \frac{{AB}}{{A’B’}}\) và \(\widehat B = \widehat {B’}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta A’B’D’\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{A’D’}} = \frac{{AB}}{{A’B’}} = k\)

c) Ta có \(\widehat B = \widehat {B’}\) và \(\widehat {AHB} = \widehat {A’H’B’} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta ABH \backsim \Delta A’B’H’\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AH}}{{A’H’}} = k\)


 

Bài 7 trang 95 Toán 8 Tập 2:

Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c.

 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

\(\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\) và \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ABC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 2}} = \frac{6}{{6 + 3}}\\ \Leftrightarrow 9x = 6\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9x = 6x + 12\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)

b) Vì \(\widehat H = \widehat E\) mà hai góc này so le trong nên \(GH\parallel EF\)

 

Theo hệ quả của định lý Thales:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{GH}}{{EF}} = \frac{{GD}}{{FD}} = \frac{{HD}}{{ED}} \Rightarrow \frac{z}{{7,8}} = \frac{y}{9} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{z}{{7,8}} = \frac{1}{3} \Rightarrow z = 2,6\\ \Rightarrow \frac{y}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3\end{array}\)

c) Ta thấy IK là đường phân giác của \(\widehat {LIJ}\)

\( \Rightarrow \frac{{JK}}{{KL}} = \frac{{IJ}}{{IL}} \Rightarrow \frac{t}{3} = \frac{{2,4}}{{3,6}} = \frac{2}{3} \Rightarrow t = 2\)


 

Bài 8 trang 95 Toán 8 Tập 2:

 

Cho Hình 105. Chứng minh:

a) \(\Delta HAB \backsim \Delta HBC\)

b) \(HB = HD = 6cm\)

 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 90^\circ \)

Xét tam giác BHC vuông tại H có:

\(\begin{array}{l}\widehat {HBC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {HBC} + \widehat {BCA} = 90^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {BAC}\) hay \(\widehat {HBC} = \widehat {BAH}\)

Xét tam giác HAB và tam giác HBC có:

\(\widehat {BAH} = \widehat {CBH}\) và \(\widehat {BHA} = \widehat {CHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta HAB \backsim \Delta HBC\)

b) Vì \(\Delta HAB \backsim \Delta HBC\) nên

\(\begin{array}{l}\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{HB}}{{HC}}\\ \Rightarrow H{B^2} = HA.HC\\ \Rightarrow H{B^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow HB = 6cm\end{array}\)

Ta chứng minh được \(\Delta HAD \backsim \Delta HDC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{HA}}{{HD}} = \frac{{HD}}{{HC}}\\ \Rightarrow H{D^2} = HA.HC\\ \Rightarrow H{D^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow HD = 6cm\end{array}\)

Vậy \(HB = HD = 6cm\).


 

Bài 9 trang 96 Toán 8 Tập 2:

Cho Hình 106. Chứng minh:

a) \(A{H^2} = AB.AI = AC.AK\)

b) \(\widehat {AIK} = \widehat {ACH}\)

 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AIH và tam giác AHB có:

\(\widehat {AIH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ,\,\,\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AIH \backsim \Delta AHB\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow A{H^2} = AI.AB\) (1)

Xét tam giác AKH và tam giác AHC có:

\(\widehat {AKH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ,\,\,\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AKH \backsim \Delta AHC\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow A{H^2} = AK.AC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{H^2} = AB.AI = AC.AK\)

b) Theo câu a ta có \(AB.AI = AC.AK \Rightarrow \frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AI}}\)

Xét tam giác ABC và tam giác AKI có:

\(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AI}},\,\,\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta AKI\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {ACH}\)


 

Bài 10 trang 96 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC có M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho \(MN\parallel BC\). Gọi I, P, Q lần lượt là giao điểm của BN và CM, AI và MN, AI và BC. Chứng minh:

a) \(\frac{{MP}}{{BQ}} = \frac{{PN}}{{QC}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\)

b) \(\frac{{MP}}{{QC}} = \frac{{PN}}{{BQ}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\)

Lời giải chi tiết

 

a) Vì \(MP\parallel BQ\) nên ta có \(\frac{{MP}}{{BQ}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\) (hệ quả của định lý Thales)

Vì \(PN\parallel QC\) nên ta có \(\frac{{PN}}{{QC}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\) (hệ quả của định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{BQ}} = \frac{{PN}}{{QC}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\)

b) Vì \(MP\parallel QC\) nên \(\frac{{MP}}{{QC}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\) (Hệ quả của định lý Thales)

 

Vì \(PN\parallel BQ\) nên \(\frac{{PN}}{{BQ}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\) (Hệ quả của định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{QC}} = \frac{{PN}}{{BQ}} = \frac{{IP}}{{IQ}}\)


 

Bài 11 trang 96 Toán 8 Tập 2:

Cho Hình 107, chứng minh:

a) \(\Delta ABN \backsim \Delta AIP\) và \(AI.AN = AP.AB\)

b) \(AI.AN + BI.BM = A{B^2}\)

 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABN và tam giác AIP có:

\(\widehat {ANB} = \widehat {API} = 90^\circ \) và \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \)\(\Delta ABN \backsim \Delta AIP\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{AN}}{{AP}} \Rightarrow AI.AN = AP.AB\)

b) Xét tam giác AMB và tam giác IPB có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {IPB} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) chung

\( \Rightarrow \)\(\Delta AMB \backsim \Delta IPB\) (g-g)

 

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BI}} = \frac{{BM}}{{BP}} \Rightarrow BI.BM = AP.PB\)

Khi đó:

\(AI.AN + BI.BM = AP.AB + AB.PB = AB\left( {AP + PB} \right) = A{B^2}\)


 

Bài 12 trang 96 Toán 8 Tập 2:

Hình 108 minh họa mặt cắt đứng của tủ sách nghệ thuật nhà bác Ngọc. Sau một thời gian sử dụng, tủ sách đó đã có dấu hiệu bị xuống cấp và cần sửa lại. Các tấm ngăn BM, CN, DP bị hỏng và cần thay mới. Em hãy giúp bác Ngọc tính toán chiều dài các tấm ngăn mới lần lượt thay thế cho các tấm ngăn BM, CN, DP đã bị hỏng. Biết chiều dài tấm ngăn EQ bằng 4m.

 

Lời giải chi tiết

Theo định lý Thales ta có:

\(BM\parallel EQ \Rightarrow \frac{{BM}}{{EQ}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BM}}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow BM = 1\)

\(CN\parallel EQ \Rightarrow \frac{{CN}}{{EQ}} = \frac{{AC}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{CN}}{4} = \frac{2}{4} \Rightarrow CN = 2\)

\(DP\parallel EQ \Rightarrow \frac{{DP}}{{EQ}} = \frac{{AD}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{DP}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow DP = 3\)

Vậy bác Ngọc cần chuẩn bị các miếng ván BM 1m, CN 2m, DP 3m.


 

Bài 13 trang 96 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 109. Hình nào đồng dạng phối cảnh với:

a) Tam giác OAB?                                      b) Tam giác OBC?

c) Tam giác OCD?                                      d) Tứ giác ABCD?

 

 

Lời giải:

a) Ta thấy hai đường thẳng AM, BN cùng đi qua điểm O và \[\frac{{OM}}{{OA}} = \frac{{ON}}{{OB}}\]  nên tam giác OMN đồng dạng phối cảnh với tam giác OAB.

Tương tự như vậy, ta cũng có hình đồng dạng phối cảnh với:

b) Tam giác OBC là: tam giác ONP.

c) Tam giác OCD là: tam giác OPQ.

d) Tứ giác ABCD là: Tứ giác MNPQ.

 


 

Bài 14 trang 96 Toán 8 Tập 2: Hình 110 có ghi thứ tự của 6 lá mầm, trong đó có nhiều cặp lá mầm gợi nên những cặp hình đồng dạng. Hãy viết 6 cặp lá mầm gợi nên những hình đồng dạng.

 

 

Lời giải:

Cặp 1: Lá mầm 1 và 3;

Cặp 2: Lá mầm 3 và 5;

Cặp 3: Lá mầm 1 và 5;

Cặp 4: Lá mầm 2 và 4;

Cặp 5: Lá mầm 4 và 6;

Cặp 6: Lá mầm 2 và 6.

 

 

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 1

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 2

 

 

 

Bài tập cuối Chương 8 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài tập cuối Chương 8 – Toán 8 – Cánh Diều