Bài tập cuối chương 7 – Toán 7 – Cánh Diều

Bài tập cuối chương 7 – Toán 7 – Cánh Diều

Bài tập cuối chương 7 – Toán 7 – Cánh Diều

 

Bài 1 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có: \(\widehat A = 42^\circ ,\widehat B = 37^\circ \).

a) Tính \(\widehat C\).

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.

 

Lời giải chi tiết

 

a) Trong tam giác ABC: \(\widehat C = 180^\circ – \widehat A – \widehat B = 180^\circ – 42^\circ – 37^\circ = 101^\circ \).

b) Trong tam giác ABC: \(\widehat B < \widehat A < \widehat C\)nên \(AC < BC < AB\). (Vì AC đối diện với góc B; BC đối diện với góc A; AB đối diện với góc C).


 

Bài 2 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2: Tìm các số đo x, y trong Hình 140.

 

Lời giải:

Tam giác ABO có OA = AB = BO nên tam giác ABO đều.

Do đó x = 60°.

Tam giác OAC có OA = OC nên tam giác OAC cân tại O.

Do đó \[y = \widehat {OAC}\].

Ta có \[\widehat {AOB}\]là góc ngoài tại đỉnh O của ∆OAC nên \[\widehat {AOB} = y + \widehat {OAC}\].

hay x = 2y.

Do đó y = 30°.


 

Bài 3 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?

 

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC.

Khi đó trong tam giác ABC: AB < AC + CB.

Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.


 

Bài 4 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh: AI = MK.

Lời giải:

 

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

AB = MN (theo giả thiết).

BC = NP (theo giả thiết).

CA = PM (theo giả thiết).

Do đó ∆ABC = ∆MNP (c – c – c).

Suy ra \[\widehat {ACB} = \widehat {MPN}\].

Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP mà BC = NP nên CI = PK.

Xét ∆ACI và ∆MPK có:

AC = MP (theo giả thiết).

(chứng minh trên).

CI = PK (chứng minh trên).

Do đó ∆ACI = ∆MPK (c – g – c).

Suy ra AI = MK (2 cạnh tương ứng).


 

Bài 5 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho Hình 142O là trung điểm của đoạn thẳng ABO nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AOM và tam giác BON có:

OA = OB;

\(\widehat {AOM} = \widehat {BON}\)(đối đỉnh);

OM = ON.

Vậy \(\Delta AOM = \Delta BON\)(c.g.c).

Suy ra: \(\widehat {AMO} = \widehat {BNO}\) (2 góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN.

b) Ta có: AM // BN nên \(\widehat {MAO} = \widehat {NBO}\)(hai góc so le trong).

Xét tam giác AOM và tam giác BON có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {NBO}\)

 

OA = OB;

\(\widehat {AOM} = \widehat {BON}\)(đối đỉnh);

Vậy \(\Delta AOM = \Delta BON\)(g.c.g). Suy ra: OM = ON ( 2 cạnh tương ứng).


 

Bài 6 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {ABC} = 70^\circ \). Hai đường cao BD CE cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

b) Chứng minh BD = CE.

c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

 

Phương pháp giải

a) Tam giác ABC cân tại A nên số đo góc B bằng số đo góc C và tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

b) Chứng minh hai tam giác vuông ADBAEC bằng nhau.

c) Chứng minh \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\).

 

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC cân tại A nên: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 70^\circ \).

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên: \(\widehat {BAC} = 180^\circ – 70^\circ – 70^\circ = 40^\circ \).

b) Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông AEC có:

AB = AC (tam giác ABC cân);

\(\widehat A\) chung.

Vậy \(\Delta ADB = \Delta AEC\)(cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra: BD = CE ( 2 cạnh tương ứng).

c) Trong tam giác ABCH là giao điểm của hai đường cao BDCE nên H là trực tâm trong tam giác ABC hay AF vuông góc với BC.

Xét hai tam giác vuông AFBAFC có:

AB = AC (tam giác ABC cân);

AF chung.

Vậy \(\Delta AFB = \Delta AFC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra: \(\widehat {FAB} = \widehat {FAC}\) ( 2 góc tương ứng) hay \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\).

Vậy tia AH là tia phân giác của góc BAC.


 

Bài 7 trang 119 Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.

 

Lời giải:

Tam giác ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra AI ⊥ BC.

Tam giác ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác ECD.

Suy ra EK ⊥ CD.

Do B, C, D thẳng hàng nên AI ⊥ BC suy ra AI ⊥ BD.

EK ⊥ CD nên EK ⊥ BD.

Do đó AI // EK.


 

Bài 8 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

 

Chứng minh:

a) ∆OMA = ∆OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Lời giải:

a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:

OM chung.

OA = OB (chứng minh trên).

Do đó ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {OM{\rm{A}}} = \widehat {OMB}\](2 góc tương ứng).

Do đó MO là tia phân giác của \[\widehat {BMA}\]hay MO là tia phân giác của \[\widehat {NMP}\].

b) Thực hiện nối OP.

 

Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:

OP chung.

OA = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {OP{\rm{A}}} = \widehat {OPC}\](2 góc tương ứng).

Do đó PO là tia phân giác của \[\widehat {CPA}\] hay PO là tia phân giác của \[\widehat {NPM}\].

Trong tam giác NMP có O là giao điểm hai đường phân giác của góc M và góc P.


 

Bài 9 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho tam giác ABCG là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

 

Phương pháp giải

a) Trong tam giác cân: đường trung tuyến tại đỉnh cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc tại đỉnh đó.

b) Chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh AB = AC hoặc góc B bằng góc C.

 

Lời giải chi tiết

a)

Trong tam giác ABC cân tại AAD là đường trung tuyến.

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AB = AC (tam giác ABC cân);

AD chung;

BD = DC (D là trung điểm của BC).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.c.c.). Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng); \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Vậy AD là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.

 

Suy ra: AD là đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy AD là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC.

G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b)

Ta có: \(AD \bot BC\).

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, D thẳng hàng.

A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC (Vì AI là tia phân giác của góc BAC).

Nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét tam giác BAD và tam giác CAD có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);

AD chung;

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (\(AD \bot BC\)).

\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).

Do đó, tam giác ABC cân tại A

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.


 

Bài 10 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

 

Lời giải:

Theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt BC tại một điểm.

Điểm đó chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

 


 

Bài 11 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có Khi đó bằng

A. 10o.

B. 55o.

C. 70o.

D. 110o.

Lời giải:

Đáp án đúng: C.

Trong tam giác MNP có:

180° – 40° – 70° = 70°.


 

Bài 12 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN.

B. Góc NMP.

C. Góc MPN.

D. Góc NHP.

Lời giải:

Đáp án đúng: A.

 

Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến MN, NP.

Xét tam giác MDH vuông tại D: \[\widehat {HM{\rm{D}}} + \widehat {MH{\rm{D}}} = 90^\circ \](trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).

Suy ra \[\widehat {HM{\rm{D}}} = 90^\circ – \widehat {MH{\rm{D}}}\].

Xét tam giác PEH vuông tại D: \[\widehat {HPE} + \widehat {PHE} = 90^\circ \](trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).

Suy ra \[\widehat {HPE} = 90^\circ – \widehat {PHE}\].

Mà \[\widehat {HM{\rm{D}}} = \widehat {HPE}\]

nên\[\widehat {MHD} = \widehat {PHE}\] hay \[\widehat {HMN} = \widehat {HPN}\]


 

Bài 13 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng: B.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MNP ta có:

NP – MN < MP < NP + MN hay 1 < x < 3.

Mà x ∈ {1; 2; 3; 4} nên x = 2.


 

Bài 14 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho tam giác nhọn ABCAB < AC. Hai đường cao ADCE cắt nhau tại H. Khi đó

A.\(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\).

B.\(\widehat {HAB} > \widehat {HAC}\).

C.\(\widehat {HAB} = \widehat {HCB}\).

D.\(\widehat {HAC} = \widehat {BAC}\).

 

Phương pháp giải

Trpng một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.

 

Lời giải chi tiết

 

Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\) (góc ACB đối diện với cạnh AB; góc ABC đối diện với cạnh AC)

Mà tam giác ADB và tam giác ADC vuông tại D.

Vì tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90°.

Mà \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\).

Suy ra: \(90^\circ – \widehat {ACB} > 90^0 – \widehat {ABC}\) hay \(\widehat {DAC} > \widehat {DAB}\).

Vậy \(\widehat {HAC} > \widehat {HAB}\) hay \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\).

 

Suy ra: A, B, D sai.

Đáp án: C.\(\widehat {HAB} = \widehat {HCB}\).

 

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài tập cuối chương 7 – Toán 7 – Cánh Diều

Bài tập cuối chương 7 – Toán 7 – Cánh Diều

 

 

Bài tập cuối chương 7 – Toán 7 – Cánh Diều