Bài tập cuối Chương 2 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài tập cuối Chương 2 – Toán 8 – Cánh Diều

 

Bài 1 trang 49 Toán 8 Tập 1:

Thực hiện phép tính:

\(a)\dfrac{x}{{xy + {y^2}}} – \dfrac{y}{{{x^2} + xy}}\)

\(b)\dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} – 4}} – \dfrac{x}{{x + 2}} – \dfrac{x}{{2 – x}}\)

\(c)\dfrac{{{a^2} + ab}}{{b – a}}:\dfrac{{a + b}}{{2{{\rm{a}}^2} – 2{b^2}}}\)

\(d)\left( {\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} – 1}} – \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right):\dfrac{{4{\rm{x}}}}{{10{\rm{x}} – 5}}\)

 

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\dfrac{x}{{xy + {y^2}}} – \dfrac{y}{{{x^2} + xy}}\\ = \dfrac{x}{{y\left( {x + y} \right)}} – \dfrac{y}{{x\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} – {y^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xy\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x – y}}{{xy}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} – 4}} – \dfrac{x}{{x + 2}} – \dfrac{x}{{2 – x}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 4}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} – \dfrac{x}{{x + 2}} + \dfrac{x}{{x – 2}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 4 – x\left( {x – 2} \right) + x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 4 – {x^2} + 2{\rm{x}} + {x^2} + 2{\rm{x}}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{x – 2}}\end{array}\)

 

\(\begin{array}{l}c)\dfrac{{{a^2} + ab}}{{b – a}}:\dfrac{{a + b}}{{2{{\rm{a}}^2} – 2{b^2}}}\\ = \dfrac{{a\left( {a + b} \right)}}{{b – a}}.\dfrac{{2{{\rm{a}}^2} – 2{b^2}}}{{a + b}}\\ = \dfrac{{a\left( {a + b} \right).2.\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}{{ – \left( {a – b} \right).\left( {a + b} \right)}}\\ = \dfrac{{a\left( {a + b} \right).2.\left( {a – b} \right).\left( {a + b} \right)}}{{ – \left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)}} = – 2{\rm{a}}\left( {a + b} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\left( {\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} – 1}} – \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right):\dfrac{{4{\rm{x}}}}{{10{\rm{x}} – 5}}\\ = \dfrac{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2} – {{\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}^2}}}{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}.\dfrac{{10x – 5}}{{4{\rm{x}}}}\\ = \dfrac{{\left( {2{\rm{x}} + 1 + 2{\rm{x}} – 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 1 – 2{\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}.\dfrac{{5.\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}{{4{\rm{x}}}}\\ = \dfrac{{4{\rm{x}}.2.5\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2{\rm{x}} – 1} \right).4{\rm{x}}}} = \dfrac{{10}}{{2{\rm{x}} + 1}}\end{array}\)


 

Bài 2 trang 49 Toán 8 Tập 1:

Cho biểu thức:

\(A = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{x + 3}}{{2{\rm{x}} + 2}}} \right).\dfrac{{4{{\rm{x}}^2} – 4}}{5}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

b) Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Phương pháp giải

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác 0.

Thực hiện quy đồng mẫu các phân thức để tính toán rút gọn biểu thức A không chứa giá trị của biến.

 

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{x + 3}}{{2{\rm{x}} + 2}}} \right).\dfrac{{4{{\rm{x}}^2} – 4}}{5}\\A = \left[ {\dfrac{{x + 1}}{{2\left( {x – 1} \right)}} + \dfrac{3}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} – \dfrac{{x + 3}}{{2\left( {x + 1} \right)}}} \right].\dfrac{{4\left( {{x^2} – 1} \right)}}{5}\end{array}\)

Điều kiện xác định của biểu thức A là: \(x + 1 \ne 0;x – 1 \ne 0\)

 

b)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} – 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{x + 3}}{{2{\rm{x}} + 2}}} \right).\dfrac{{4{{\rm{x}}^2} – 4}}{5}\\A = \left[ {\dfrac{{x + 1}}{{2\left( {x – 1} \right)}} + \dfrac{3}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} – \dfrac{{x + 3}}{{2\left( {x + 1} \right)}}} \right].\dfrac{{4\left( {{x^2} – 1} \right)}}{5}\\A = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) – 3.2 – \left( {x + 3} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\A = \dfrac{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1 – 6 – {x^2} – 2{\rm{x + 3}}}}{{2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{5}\\A = \dfrac{{10.4}}{{2.5}} = 4\end{array}\)

Vậy giá trị của A = 4 không phụ thuộc vào các giá trị của biến


 

Bài 3 trang 49 Toán 8 Tập 1:

Cho biểu thức:

\(B = \left( {\dfrac{{5{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} – 10{\rm{x}}}} + \dfrac{{5{\rm{x}} – 2}}{{{x^2} + 10{\rm{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} – 100}}{{{x^2} + 4}}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức B

b) Rút gọn B và tính giá trị của biểu thức B tại x = 0,1

c) Tìm số nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.

Phương pháp giải

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác 0.

Thực hiện quy đồng mẫu các phân thức để tính toán rút gọn biểu thức B.

 

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{{5{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} – 10{\rm{x}}}} + \dfrac{{5{\rm{x}} – 2}}{{{x^2} + 10{\rm{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} – 100}}{{{x^2} + 4}}\\B = \left[ {\dfrac{{5{\rm{x}} + 2}}{{x\left( {x – 10} \right)}} + \dfrac{{5{\rm{x – }}2}}{{x\left( {x + 10} \right)}}} \right].\dfrac{{\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\end{array}\)

Điều kiện xác định của biểu thức B là: \(x\left( {x – 10} \right) \ne 0;x\left( {x + 10} \right) \ne 0\) hay \( x \not \in \left\{ {0; -10 ; 10} \right\} \)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{{5{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} – 10{\rm{x}}}} + \dfrac{{5{\rm{x}} – 2}}{{{x^2} + 10{\rm{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} – 100}}{{{x^2} + 4}}\\B = \left[ {\dfrac{{5{\rm{x}} + 2}}{{x\left( {x – 10} \right)}} + \dfrac{{5{\rm{x – }}2}}{{x\left( {x + 10} \right)}}} \right].\dfrac{{\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\B = \dfrac{{\left( {5{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5{\rm{x}} – 2} \right)\left( {x – 10} \right)}}{{x\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\dfrac{{\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\B = \dfrac{{5{{\rm{x}}^2} + 52{\rm{x}} + 20 + 5{{\rm{x}}^2} – 52{\rm{x}} + 20}}{{x\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\dfrac{{\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\B = \dfrac{{10\left( {{x^2} + 4} \right).\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x – 10} \right)\left( {x + 10} \right).\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \dfrac{{10}}{x}\end{array}\)

Với x = 0,1 ta có:

\(B = \dfrac{{10}}{{0,1}} = 100\)

c) Để B nguyên thì \(\dfrac{{10}}{x}\) nguyên

Suy ra x \( \in \) Ư (10) = \(\left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10} \right\}\)

Mà \( x \not \in \left\{ {0; -10 ; 10} \right\} \)

Vậy \(x \in \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5} \right\}\) thì B nguyên


 

Bài 4 trang 49 Toán 8 Tập 1:

Hai người thợ cùng sơn một bức tường. Nếu một mình sơn xong bức tường thì người thứ nhất làm xong lâu hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi x là số giờ mà người thứ nhất một mình sơn xong bức tường. Viết phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ theo x.

Phương pháp giải

– Tính trong 1 giờ người thứ nhất làm được bao nhiêu phần bức tường

– Tính trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần bức tường

Suy ra được tổng số phần bức tường người thứ nhất làm được trong 3 giừo và người thứ hai làm được trong 4 giờ theo x.

 

Lời giải chi tiết

Người thứ nhất làm một mình xong bức tường trong x giờ

Người thứ hai làm một mình xong bức tường trong x – 2 giờ

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) bức tường

Trong 3 giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{3}{x}\) bức tường

Trong 1 giờ người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{{x – 2}}\) bức tường

Trong 4 giờ người thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x – 2}}\) bức tường

Tổng số phần bức tường người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ là:

\(\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{{x – 2}} = \dfrac{{7{\rm{x}} – 6}}{{x\left( {x – 2} \right)}}\) (bức tường)


 

Bài 5 trang 49 Toán 8 Tập 1:

 

Số tiền hằng năm A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà và dân số P (triệu người) hằng năm của nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 lần lượt cho bởi công thức sau:

\(A = \dfrac{{ – 8242,58t + 348299,6}}{{ – 0,06t + 1}}\) với \(0 \le t \le 6;P = 2,71t + 282,7\) với \(0 \le t \le 6\)

Trong đó, t là số năm tính từ năm 2000, t = 0 tương ứng với năm 2000

(Nguồn: U.S Bureau of Economic Analysis and U.S Census Bureau)

Viết phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà.

 

Lời giải chi tiết

Số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà là:

\(\begin{array}{l}\dfrac{A}{P} = \dfrac{{\dfrac{{ – 8242,58t + 348299,6}}{{ – 0,06t + 1}}}}{{2,71t + 282,7}}\\\dfrac{A}{P} = \dfrac{{ – 8242,58t + 348299,6}}{{( – 0,06t + 1).\left( {2,71t + 282,7} \right)}}\end{array}\)

 

 

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 1

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 2

 

 

Bài tập cuối Chương 2 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài tập cuối Chương 2 – Toán 8 – Cánh Diều