Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng – Toán 7 – Cánh Diều

 

Khởi động trang 100 Toán lớp 7 Tập 2: Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d.

 

Đường thẳng d có mối liên hệ gì với đoạn thẳng AB?

Lời giải:

Đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB.


 

Hoạt động 1 trang 100 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát Hình 87.

a) So sánh hai đoạn thẳng IA và IB.

b) Tìm số đo của các góc I1, I2.

Lời giải:

a) Ta thấy IA = IB.

b) Ta thấy d ⊥ AB nên .


 

Luyện tập 1 trang 101 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết

. Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

 

Do \[\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\], mà \[\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \] nên \[\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \]

hay AM ⊥ BC.

Ta có AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của BC.


 

Hoạt động 2 trang 101 Toán lớp 7 Tập 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90).

 

Chứng minh rằng:

a) ∆MOA = ∆MOB;

b) MA = MB.

Lời giải:

a) Xét ∆MOA vuông tại O và ∆MOB vuông tại O có:

MO chung.

OA = OB (theo giả thiết).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông).

b) Do ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông) nên MA = MB (2 cạnh tương ứng).


 

Luyện tập 2 trang 101 Toán lớp 7 Tập 2: Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

 

Lời giải:

Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB = 3 m.

Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.


 

Hoạt động 3 trang 101 Toán lớp 7 Tập 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.

a) Hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không? Vì sao?

b) Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

Lời giải:

 

a) Xét ∆MOA và ∆MOB có:

MO chung.

OA = OB (theo giả thiết).

MA = MB (theo giả thiết).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (c – c – c).

b) Do ∆MOA = ∆MOB (c – c – c) nên OA = OB (2 cạnh tương ứng) và \[\widehat {MOA} = \widehat {MOB}\](2 góc tương ứng).

Do OA = OB và O nằm giữa A và B nên O là trung điểm của AB.

Do \[\widehat {MOA} = \widehat {MOB}\]mà \[\widehat {MOA} + \widehat {MOB} = 180^\circ \] nên \[\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \]

Do đó MO ⊥ AB.

Khi đó MO vuông góc với AB tại trung điểm O của AB.

Vậy MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.


 

Luyện tập 3 trang 102 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A.

a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt cạnh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

Lời giải:

 

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHC vuông tại H có:

AB = AC (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra HB = HC (2 cạnh tương ứng).

Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.

Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.


 

Hoạt động 4 trang 102 Toán lớp 7 Tập 2: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = 3 cm.

Lời giải:

Ta thực hiện như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

 

Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 2 cm.

 

Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 2 cm, cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

 

Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

 


 

Bài 1 trang 103 Toán lớp 7 Tập 2:

Trong Hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\).

 

Lời giải chi tiết

Ta có: đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA=CB và DA=DB.

Ta có tam giác ABC cân tại C, tam giác DAB cân tại D

Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA};\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\).

Vậy \(\widehat {CAB} – \widehat {DAB} = \widehat {CBA} – \widehat {DBA}\) suy ra: \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\).


 

Bài 2 trang 103 Toán lớp 7 Tập 2:

Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của hai đoạn thẳng ABCD. Chứng minh:

a) AB // CD;

b) \(\Delta MNC = \Delta MND;\)

c) \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);

d) \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\);

e) \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).

 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng ABCD nên \(a \bot AB;a \bot CD\).

Suy ra: AB // CD.

b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng ABCD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng ABCD. Suy ra: MD = MC.

Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.

Vậy \(\Delta MNC = \Delta MND\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) \(\Delta MNC = \Delta MND\)nên \(\widehat {CMN} = \widehat {DMN}\).

 

Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {BMN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} – \widehat {DMN} = \widehat {BMN} – \widehat {CMN}\).

Vậy \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).

d) Xét hai tam giác AMDBMC có:

MA = MB;

\(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);

MD = MC.

Vậy \(\Delta MAD = \Delta MBC\)(c.g.c). Suy ra: \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) (cặp cạnh và góc tương ứng).

e) \(\Delta MAD = \Delta MBC\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BCM}\) (2 góc tương ứng).

\(\Delta MNC = \Delta MND\) nên \(\widehat {MCN} = \widehat {MDN}\) (2 góc tương ứng).

Vậy \(\widehat {ADM} + \widehat {MDN} = \widehat {BCM} + \widehat {MCN}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).

Bài 3 trang 103 Toán lớp 7 Tập 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a // b.

Lời giải:

 

a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Do A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên trung điểm của đoạn thẳng AB và trung điểm của đoạn thẳng BC không trùng nhau.

Do đó a // b.


 

Bài 4 trang 103 Toán lớp 7 Tập 2: Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:

a) MB = AI + IM;

b) MA < MB.

Lời giải:

 

a) Đường thẳng d cắt MB tại I nên I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó AI = BI.

Khi đó MB = BI + IM = AI + IM.

b) Xét trong tam giác AIM có AI + IM > MA.

Mà AI + IM = MB nên MB > MA.

 

 

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng – Toán 7 – Cánh Diều