Bài 6: Hình thoi – Chương 5 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 6: Hình thoi – Chương 5 – Toán 8 – Cánh Diều

 

1. Khái niệm

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

 

2. Tính chất

– Các cạnh đối song song

– Các góc đối bằng nhau

– Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

– Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.


 

Khởi động trang 113 Toán 8 Tập 1: Hoạ tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi.

Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?

 

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên như sau:

‒ Trong một hình thoi:

+ Bốn cạnh bằng nhau;

+ Các cạnh đối song song.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

‒ Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

+ Hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.


 

Hoạt động 1 trang 113 Toán 8 Tập 1: So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56.

 

 

 

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD ở Hình 56 ta có: AB = BC = CD = DA.


 

Hoạt động 2 trang 113, 114 Toán 8 Tập 1:

 

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo là AC và BD cắt nhau tại O (hình 58)

a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?

b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?

c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) hay không?

Lời giải chi tiết:

a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành (vì AB = BC = CD = DA)

b) Xét tam giác ABD có AB = AD nên tam giác ABD là tam giác cân tại A.

Suy ra đường trung tuyến AO đồng thời là đường cao.

Suy ra AO vuông góc với BD

Hay AC vuông góc với BD

c) Xét tam giác ABC và tam giác ADC có:

AD = AB

CD = CB

AC chung

\(\begin{array}{l}\Delta ABC = \Delta A{\rm{D}}C\\ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BAC}\end{array}\)

Mà AC nằm giữa 2 tia AB và AD

Suy ra: AC là tia phân giác của góc BAD

 


Luyện tập 1 trang 114 Toán 8 Tập 1:

 

Cho hình thoi ABCD có \(\widehat {ABC} = {120^o}\). Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

 

Vì ABCD là hình thoi

Suy ra: \(\widehat B = \widehat D = {120^o}\)

Mà: \(\widehat A = \widehat C\)

Mặt khác: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\)

Suy ra: \(\widehat A = \widehat C = \dfrac{{{{360}^o} – \widehat B – \widehat D}}{2} = \dfrac{{{{360}^o} – {{120}^o} – {{120}^o}}}{2} = {60^o}\)

Xét tam giác ABD có AB = AD nên tam giác ABD là tam giác cân tại A mà \(\widehat A = {60^o}\)

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều


 

Hoạt động 3 trang 114 Toán 8 Tập 1: a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình thoi hay không?

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 60).

Hoạt động 3 trang 114 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?

• ABCD có phải là hình thoi hay không?

 

 

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.

Mà AB = BC nên AB = BC = CD = DA.

Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

b) • Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Do đó AC ⊥ BD tại trung điểm O của đoạn thẳng BD.

Suy ra AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

• Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AD = AB.

Theo kết quả câu a, hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AD và AB bằng nhau nên là hình thoi.


 

Luyện tập 2 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi.

Lời giải:

 

Do MN = MA nên M là trung điểm của AN.

Xét tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Do đó ABNC là hình bình hành.

Mặt khác, ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

Do đó AM ⊥ BC hay AN ⊥ BC.

Suy ra hình bình hành ABNC có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.


 

Bài 1 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi .

Lời giải:

 

Do AC là tia phân giác của góc DAB nên \[\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\].

Mặt khác do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra \[\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\] (so le trong).

Do đó \[\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\]

Xét ΔDAC có  nên ΔDAC cân tại D .

Suy ra DA = DC.

Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề DA và DC bằng nhau nên là hình thoi.


 

Bài 2 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:

\[A{C^2} + {\rm{ }}B{D^2} = {\rm{ }}4\left( {O{A^2} + {\rm{ }}O{B^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4A{B^2}\]

 

 

Lời giải:

 

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Do đó AC = 2OA, BD = 2OB.

Ta có: AC2 + BD2 = (2OA)2 + (2OB)2 = 4OA2 + 4OB2 = 4(OA2 + OB2).

Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

AB2 = OA2 + OB2

Suy ra AC2 + BD2 = 4(OA2 + OB2) = 4AB2.


 

Bài 3 trang 115 Toán 8 Tập 1:

Cho hình thoi ABCD có \(\widehat {C{\rm{D}}B} = {40^o}\). Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.

 

Lời giải chi tiết

 

Do ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của \(\widehat {CDA}\)

Mà: \(\widehat {CDB} = {40^0} \Rightarrow \widehat {CDA} = {2.40^0} = {80^0} \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {CDA} = {80^0}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAD} + \widehat {CBA} + \widehat {CDA} + \widehat {BCD} = {360^0}\\\widehat {BAD} + {80^0} + {80^0} + \widehat {BCD} = {360^0}\end{array}\)

(do ABCD là hình thoi nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BCD}\))

 

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BCD} = \frac{{{{360}^0} – {{80}^0} – {{80}^0}}}{2} = {100^0}\)

Vậy hình thoi ABCD có: \(\widehat {BCA} = \widehat {CDA} = {80^0};\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {100^0}\)


 

Bài 4 trang 115 Toán 8 Tập 1: Hình 62 mô tả một lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

 

Lời giải:

 

Giả sử một lưới mắt cáo được mô tả bởi hình thoi ABCD như hình vẽ trên.

Khi đó AC = 90 mm, BD = 45 mm.

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra \[OA = \frac{1}{2}AC = 45\,\left( {mm} \right)\]; \[OB = \frac{1}{2}BD = 22,5\,\left( {mm} \right)\].

Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

AB2 = OA2 + OB2 = 452 + 22,52 = 2 025 + 506,25 = 2531,25

Suy ra \[AB = \sqrt {2\,531,25} \approx 50\,\left( {mm} \right)\]

 


Bài 5 trang 115 Toán 8 Tập 1:

Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là \({60^o}\) (Hình 63).

Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

 

Lời giải chi tiết

 

Giả sử viên gạch dạng hình thoi là hình thoi ABCD có.

AB = 40 cm; O là giao điểm của AC và BD

Xét \(\Delta DAB\) có: AB = AD = 40 cm; \( \Rightarrow \Delta DAB\) là tam giác đều suy ra

BD = AB = AD = 40cm \( \Rightarrow OB = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{40}}{2} = 20cm\)

Xét \(\Delta AOB\) vuông tại O có: \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2} \Rightarrow O{A^2} = A{B^2} – O{B^2} = {40^2} – {20^2} = 1200\)

\( \Rightarrow OA = \sqrt {1200} \Rightarrow AC = 2\sqrt {1200} \)

 

Diện tích của hình thoi ABCD là: \(S = \dfrac{1}{2}.AC.BD = \dfrac{1}{2}.40.2\sqrt {1200} = 1385,64(c{m^2})\)

Vậy diện tích của viên gạch đó là: \(1385,64(c{m^2})\)

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 1

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 2

 

Bài 6: Hình thoi – Chương 5 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 6: Hình thoi – Chương 5 – Toán 8 – Cánh Diều