Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên – Toán 6 – Cánh Diều

Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên – Toán 6 – Cánh Diều

Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên – Toán 6 – Cánh Diều

 

I. Lũy thừa

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

\({a^n} = a.a \ldots ..a\) (\(n\) thừa số \(a\) ) (\(n \notin \mathbb{N}^*\) )

\({a^n}\) đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n”.

\(a\) được gọi là cơ số.

\(n\) được gọi là số mũ.

Phép nhân nhiều thừa số giống nhau như trên được gọi là phép nâng lên lũy thừa.

\({a^1} = a\)

\({a^2} = a.a\) gọi là “\(a\) bình phương” (hay bình phương của \(a\)).

\({a^3} = a.a.a\) gọi là “\(a\) lập phương” (hay lập phương của \(a\)).

Với \(n\) là số tự nhiên khác 0 (thuộc \(\mathbb{N}^*\)), ta có: \({10^n} = 1\underbrace {0…0}_{n{\rm{ \,chữ\, số\, 0}}}\)(số mũ là n thì có n chữ số 0 đằng sau chữ số 1)

Quy ước: \({a^1} = a\); \({a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).\)

Ví dụ:

a) \({8^3}\) đọc là “tám mũ ba”, có cơ số là 8 và số mũ là 3.

b) Tính \({2^3}\).

Số trên là lũy thừa bậc 3 của 2 và là tích của 3 thừa số 2 nhân với nhau nên ta có:

\({2^3} = 2.2.2 = 8\)

c) Tính \({10^3}\)

\({10^3}\) có số mũ là 3 nên \({10^3} = 1000\)(Sau chữ số 1 có 3 chữ số 0).

d) Viết 10 000 000 dưới dạng lũy thừa của 10:

Cách 1: \(10000000 = 10.10.10.10.10.10.10\)\( = {10^7}\)

Cách 2: Sau chữ số 1 có 7 chữ số 0 nên \(10000000 = {10^7}\)

e) Viết 16 dưới dạng lũy thừa cơ số 4:

\(16 = 4.4 = {4^2}\)

II. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)

Ví dụ:

a) \({3.3^5} = {3^1}{.3^5} = {3^{1 + 5}} = {3^6}.\)

b) \({5^2}{.5^4} = {5^{2 + 4}} = {5^6}\)

c) \({a^3}.{a^5} = {a^{3 + 5}} = {a^8}\)

d) \(x.{x^8} = {x^1}.{x^8} = {x^{1 + 8}} = {x^9}\)

e) \({4^2}.64 = {4^2}.4.4.4 = {4^2}{.4^3} = {4^{2 + 3}} = {4^5}\)

f) \(10.2.5 = 10.\left( {2.5} \right) = 10.10 = {10^2}\) (Sử dụng tính chất kết hợp trong phép nhân trước).

III. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phép chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ sốtrừ các số mũ cho nhau.

\({a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\) \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)

Ví dụ:

a) \({3^5}:3 = {3^5}:{3^1} = {3^{5 – 1}} = {3^4}\)\( = 3.3.3.3 = 81\)

b) \({a^6}:{a^2} = {a^{6 – 2}} = {a^4}\)

c) \({2^3}:{2^3} = {2^{3 – 3}} = {2^0} = 1\)

d) \(81:{3^2} = {3^4}:{3^2} = {3^{4 – 2}} = {3^2} = 3.3 = 9\)

Lưu ý:

Phép chia hai lũy thừa cùng cơ số không thể lấy hai số mũ chia cho nhau mà phải lấy hai số mũ trừ cho nhau.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

I. Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: $\underbrace {a.a.a…..a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right)$

II. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định cơ số và số mũ.

Bước 2: Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right)$

III. So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải

Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ

Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)

Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\)

Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh

Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(a < b;b < c\) thì \(a < c.\)

IV. Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức

Phương pháp giải

Bước 1: Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

Bước 2: Sử dụng tính chất

Với \(a \ne 0;a \ne 1\), nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N)$

V. Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp giải

Cách 1: Dùng định nghĩa lũy thừa

$\underbrace {a.a…..a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
Cách 2: Sử dụng tính chất

Với \(a;b \ne 0;a;b \ne 1\), nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N)$.


Câu hỏi khởi động trang 22 Toán lớp 6 Tập 1: Vi khuẩn E.coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần

(Nguồn: sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)

 

Giả sử lúc đầu có 1 vi khuẩn. Sau 120 phút có bao nhiêu vi khuẩn?

Lời giải:

+) Trước khi chưa học bài Lũy thừa, em giải quyết bài toán trên như sau:

Vì cứ sau 20 phút, vi khuẩn lại phân đôi 1 lần nên sau 20 phút đầu, từ 1 vi khuẩn ta có 2 vi khuẩn.

Sau 20 phút tiếp theo (tức là sau 40 phút), từ 2 vi khuẩn phân đôi thành 2 . 2 = 4 vi khuẩn.

Sau 20 phút tiếp (tức là sau 60 phút), từ 4 vi khuẩn phân đôi thành 4 . 2 = 8 vi khuẩn.

Sau 20 phút tiếp (tức là sau 80 phút), từ 8 vi khuẩn phân đôi thành 8 . 2 = 16 vi khuẩn.

Tiếp tục sau 20 phút nữa (tức là sau 100 phút), từ 16 vi khuẩn phân đôi thành 16 . 2 = 32 vi khuẩn.

Sau 20 phút nữa (tức là sau 120 phút), từ 32 vi khuẩn phân đôi thành 32 . 2 = 64 vi khuẩn.

Vậy sau 120 phút có tất cả 64 vi khuẩn.

+) Sau khi học xong bài Lũy thừa, em có thể giải quyết bài toán như sau:

120 phút hơn 20 phút số lần là: 120 : 20 = 6 (lần)

Cứ sau 20 phút, vi khuẩn lại phân đôi 1 lần, tức là gấp 2 lần số lượng ban đầu.

Vậy sau 120 phút, có tất cả: 26 = 64 vi khuẩn.


Hoạt động 1 trang 22 Toán lớp 6 Tập 1: Người ta viết gọn tổng của nhiều số hạng bằng nhau thành phép nhân, chẳng hạn: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2.6.

Ta cũng có thể viết gọn tích của nhiều thừa số bằng nhau, chẳng hạn: 2.2.2.2.2.2 được viết gọn

Lời giải:

Ta cũng có thể viết gọn tích của nhiều thừa số bằng nhau, chẳng hạn:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 được viết gọn là 26. Số 2 gọi là cơ số và số 6 gọi là số mũ.

Ta có : 26 = 64


Luyện tập 1 trang 23 Toán lớp 6 Tập 1: Viết và tính các lũy thừa sau:

a) Năm mũ hai;

b) Hai lũy thừa bảy;

c) Lũy thừa bậc ba của sáu.

Lời giải:

a) “Năm mũ hai” được viết là 52

Ta có: 52 = 5 . 5 = 25.

b) “Hai lũy thừa bảy” được viết là 27

Ta có: 2= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

= 4 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

= 8 . 2 . 2 . 2. 2

= 16 . 2 . 2 . 2

= 32 . 2 . 2

= 64 . 2 = 128

Vậy 27 = 128.

c) “Lũy thừa bậc ba của sáu” được viết là 63

Ta có: 63 = 6 . 6 . 6 = 36 . 6 = 216.


Luyện tập 2 trang 23 Toán lớp 6 Tập 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa với cơ số cho trước:

a) 25, cơ số 5;

b) 64, cơ số 4.

Lời giải:

a) Để viết số 25 dưới dạng lũy thừa với cơ số 5, ta tách số 25 thành tích với các thừa số là 5 rồi đưa về dạng lũy thừa:

25 = 5 . 5 = 52.

Vậy 25 = 52.

b) Để viết số 64 dưới dạng lũy thừa với cơ số 4, ta tách số 64 thành tích với các thừa số là 4 rồi đưa về dạng lũy thừa:

64 = 4 . 16 = 4 . (4 . 4) = 4 . 4 . 4 = 43.

Vậy 64 = 43.


 

Hoạt động 2 trang 23 Toán lớp 6 Tập 1: So sánh: 23.24 và  27.

Lời giải:

Ta có:   23=2.2.2=4.2=8

24=2.2.2.2=4.2.2=8.2=16

Suy ra: 23 . 24 = 8 . 16 = 128

Lại có: 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 (Theo câu b, phần Luyện tập 1. Trang 23/SGK)

Vì 128 = 128

Vậy 23 . 24 = 27.


 

Luyện tập 3 trang 24 Toán lớp 6 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 25 . 64 ;

b) 20 . 5 . 103.

Lời giải:

a) Trước tiên ta viết 64 dưới dạng lũy thừa cơ số 2:

Ta có: 64 = 2 . 32 = 2 . 2 . 16 = 2 . 2 . 2 . 8 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26

Do đó: 25 . 64 = 25 . 26 = 25+6 = 211.

b) Ta có: 20 . 5 . 103 = 100 . 103 = 10 . 10 . 103 = 102 . 103 = 102+3 = 105.


 

Hoạt động 3 trang 24 Toán lớp 6 Tập 1: So sánh:25 : 23 và 22.

Lời giải:

Ta có: 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 4 . 2 . 2 . 2 = 8 . 2 . 2 = 16 . 2 = 32

23 = 2 . 2 . 2 = 8

Do đó: 25 : 2 = 32 : 8 = 4

Lại có: 22 = 2 . 2 = 4

Vì 4 = 4

Vậy 25 : 23 = 22.


 

Luyện tập 4 trang 24 Toán lớp 6 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 65 : 6 ;

b)  1288 : 23.

Lời giải:

a) Ta có: 65 : 6 = 65 : 61 = 65 – 1 = 64.

b) 128 : 23

Trước tiên, ta viết số 128 dưới dạng lũy thừa cơ số là 2 ta được

128 = 27 (Theo câu b, Luyện tập 1/Trang 23SGK)

Khi đó: 128 : 23 = 27 : 23 = 27 – 3  = 24.


 

Bài 1 trang 24 Toán lớp 6 Tập 1: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa:

a) 5 . 5 . 5 . 5;

b) 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9;

c) 7 . 7 . 7 . 7 . 7;

d) a . a . a . a . a . a . a . a.

Lời giải:

a) 5 . 5. 5 . 5 = 54. (vì trong tích có 4 thừa số 5)

b) 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 97. (vì trong tích có 7 thừa số 9)

c) 7 . 7 . 7 . 7 . 7 = 75. (vì trong tích có 5 thừa số 7)

d) a . a . a . a . a . a . a . a = a8. (vì trong tích có 8 thừa số a)


 

Bài 2 trang 25 Toán lớp 6 Tập 1: Xác định cơ số, số mũ và tính mỗi lũy thừa sau: 25, 52, 92, 110, 101

Lời giải:

+) 25 có cơ số là 2, số mũ là 5 và

25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 4 . 2 . 2 . 2 = 8 . 2 . 2 = 16 . 2 = 32

+)  5có cơ số là 5, số mũ là 2 và 52 = 5 . 5 = 25

+) 92 có cơ số là 9, số mũ là 2 và 92 = 9 . 9 = 81

+) 110 có cơ số là 1, số mũ là 10  và

110  = 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 = 1

+) 101 có cơ số là 10, số mũ là 1 và 101 = 10. (một số bất kì lũy thừa 1 thì bằng chính nó).


 

Bài 3 trang 25 Toán lớp 6 Tập 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa với cơ số cho trước:

a) 81, cơ số 3;

b) 81, cơ số 9;

c) 64, có số 2;

d) 100 000 000, cơ số 10.

Lời giải:

a) Để viết 81 dưới dạng lũy thừa với cơ số 3, ta tách 81 thành tích của các thừa số 3:

81 = 3 . 27 = 3 . 3 . 9 = 3 . 3 . 3 . 3 = 34.

Vậy 81 = 34.

b) Để viết 81 dưới dạng lũy thừa với cơ số 9, ta tách 81 thành tích của các thừa số 9:

81 = 9 . 9 = 92

Vậy 81 = 92.

c) Để viết 64 dưới dạng lũy thừa với cơ số 2, ta tách 64 thành tích của các thừa số 2:

64 = 2 . 32 = 2 . 2 . 16 = 2 . 2. 2 . 8 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2= 26

Vậy 64 = 26.

d) Để viết 100 000 000 dưới dạng lũy thừa với cơ số 10, ta tách 100 000 000 thành tích của các thừa số 10:

100 000 000 = 10 . 10 000 000 = 10 . 10 . 1 000 000

= 10 . 10 . 10 . 100 000

= 10 . 10 . 10 . 10 . 10 000

= 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 1 000

= 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 100

= 10 . 10 . 10 . 10. 10 . 10 . 10 . 10

= 108

Vậy 100 000 000 = 108.


 

Bài 4 trang 25 Toán lớp 6 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a)  34.35 ; 16.29  ;  16.32 ;

b)  128 : 12 ; 243 : 34  ;  109 : 10000 ;

c)  4.86.2.83 ;  122.2.123.6  ;  63.2.64.3 .

Lời giải:

a) +) 34. 35 = 34 + 5 = 39.

+) 16 . 2= (2 . 2 . 2 . 2) . 29 = 24 . 29 = 24 + 9 = 213.

+) 16 . 32 = 24 . (2 . 2 . 2 . 2 . 2) = 24 . 25 = 24 + 5 = 29.

b) +) 128 : 12 = 128 : 121 = 128 – 1 = 127.

+) 243 : 34 = (3. 81) : 3= (3 . 3 . 27) : 34 = (3 . 3 . 3 . 3. 3) : 34 = 35 : 34 = 35 – 4 =31.

+) 109 : 10 000 = 109 : (10 . 1 000) = 109 : (10. 10 . 100)

= 109 : (10 . 10 . 10 . 10)

= 109 : 104 = 109 – 4  = 105.

c) +) 4. 86 . 2 . 83

= 4 . 2 . 86 . 83 (tính chất giao hoán)

= (4 . 2) . 86 . 83 (tính chất kết hợp)

= 8 .  86 . 83

= 81 . 86 . 83

= 81 + 6 . 83

= 87 . 83 = 87 + 3 = 810.

+) 122 . 2 . 123 . 6

= (2. 6) . (122 . 123)  (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 12 . 122 + 3

= 121 . 125 = 121 + 5  = 126.

+) 63 . 2 . 64 . 3

= (2 . 3) . (63 . 64) (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 6 . 63 + 4

= 61 . 67 = 61 + 7 = 68.


 

Bài 5 trang 25 Toán lớp 6 Tập 1: So sánh:

a) 32 và 3 . 2;

b) 23 và 32 ;

c) 33 và 34 .

Lời giải:

a) Ta có: 32 = 3 . 3 = 9 và 3 . 2 = 6

Vì 9 > 6 nên 32 > 3 . 2

Vậy 32 > 3 . 2.

b) Ta có: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 và 32 = 3. 3 = 9

Vì 8 < 9 nên 2 < 32

Vậy 23 < 32.

c) Ta có: 33 = 3 . 3 . 3 = 27 và 34 = 3 . 3. 3. 3 = 81

Vì 27 < 81 nên 33 < 34

Vậy 3< 34.

Qua bài tập c) này, ta có nhận xét: Đối với lũy thừa với cơ số và số mũ là số tự nhiên thì khi so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, lũy thừa nào có số mũ bé hơn thì bé hơn. 


 

Bài 6 trang 25 Toán lớp 6 Tập 1: Khối lượng của Mặt Trời khoảng 1 988 550 . 1021 tấn, khối lượng của Trái Đất khoảng 6.1021 tấn. (Nguồn: http://nssdc.gsfc.nasa.gov)

Khối lượng của Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khối lượng của Trái Đất?

Lời giải:

Khối lượng Mặt Trời gấp số lần khối lượng Trái Đất là:

(1 988 550 . 1021) : (6 . 1021) = (1 988 550 : 6) . (1021 : 1021)

= 331 425 . 1 = 331 425 (lần)

Vậy khối lượng Mặt Trời gấp khoảng 331 425 lần khối lượng Trái Đất.


 

Bài 7 trang 25 Toán lớp 6 Tập 1: Đố. Cho biết 112 = 121; 1112 =12 321. Hãy dự đoán 11112 bằng bao nhiêu. Kiểm tra lại dự đoán đó.

Lời giải:

Ta có:  112 = 121; 1112 = 12 321

Do đó ta dự đoán: 1 1112 = 1 234 321

Kiểm tra: 1 1112 = 1 111 . 1 111

Ta có:

Vậy 1 1112 = 1 234 321.

 

 

 

Giải bài tập Toán lớp 6 Tập 1 Cánh diều

Chương 1: Số tự nhiên

Top 9 Đề thi Toán lớp 6 Giữa kì 1 có đáp án (sách mới)

Chương 2: Số nguyên

Chương 3: Hình học trực quan

Top 30 Đề thi Toán lớp 6 Học kì 1 có đáp án (sách mới)

Giải bài tập Toán lớp 6 Tập 2 – Cánh diều

Chương 4. Một số yếu tố thống kê và xác suất

Chương 5. Phân số và số thập phân

Chương 6. Hình học phẳng

 

 

 

Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên – Toán 6 – Cánh Diều

Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên – Toán 6 – Cánh Diều

 

 

Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên – Toán 6 – Cánh Diều