Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều

 

I. Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x , kí hiệu xn , là tích của n thừa số x ( n là số tự nhiên lớn hợn 1)

xn đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x.

x: cơ số

n: số mũ

Quy ước: x0 = 1 ( x \( \ne \)0); x1 = x

Chú ý:

\(\begin{array}{l}{(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\\{(\frac{x}{y})^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\end{array}\)

+ Lũy thừa số mũ chẵn của 1 số hữu tỉ luôn dương

+ Lũy thừa số mũ lẻ của 1 số hữu tỉ âm luôn âm

+ Lũy thừa số mũ chẵn của 1 số hữu tỉ dương luôn dương

II. Tích và thương hai lũy thừa cùng cơ số

+ Khi nhân 2 lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng 2 số mũ

xm . xn = xm+n

+ Khi chia 2 lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi lũy thừa của số chia

xm : xn = xm-n (\(x \ne 0;m \ge n\))

Ví dụ: 74 . 78 = 74+8 = 712

75 : (-7)2 = 75 : 72 = 75-2 = 73

III. Lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

(xm)n = xm.n

Ví dụ: [(-3)3]4 = (-3)3.4 = (-3)12

 


 

Khởi động trang 17 Toán lớp 7 Tập 1:

Khối lượng Trái Đất khoảng 5,9724 . 1024 kg.

Khối lượng Sao Hỏa khoảng 6,417 . 1023 kg.

(Nguồn: Nasa)

Khối lượng Sao Hỏa bằng khoảng bao nhiêu lần khối lượng Trái Đất?

 

Lời giải:

Khối lượng Sao Hỏa bằng số lần khối lượng Trái Đất là:

 (lần).

Vậy khối lượng Sao Hỏa bằng khoảng 0,107 lần khối lượng Trái Đất.


 

Hoạt động 1

Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa và nêu cơ số, số mũ của chúng:

a)\(7.7.7.7.7\) b) 12.12…12 ( n thừa số 12)\(\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)\)

Phương pháp giải:

\({x^n} = \underbrace {x.x \ldots .x}_{n{\rm{ }}}{\rm{ }}\) (\(n \in {\mathbb{N}^*}\))

Số \(x\) được gọi là cơ số, \(n\) được gọi là số mū.

Lời giải:

a) 7.7.7.7.7 = 75

b) 12.12….12 = 12n ( n thừa số 12)

 

LT – VD 1

Luyện tập vận dụng 1

Tính thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8m.

Phương pháp giải:

Thể tích hình lập phương cạnh a là: V = a3

Lời giải:

Thể tích bể nước hình lập phương là:

V = 1,83 = 5,832 (m3)

 

LT – VD 2

Luyện tập vận dụng 2

Tính: \({\left( {\frac{{ – 3}}{4}} \right)^3};{\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\)

 

Lời giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{{ – 3}}{4}} \right)^3} = \left( {\frac{{ – 3}}{4}} \right).\left( {\frac{{ – 3}}{4}} \right).\left( {\frac{{ – 3}}{4}} \right) = \frac{{( – 3).( – 3).( – 3)}}{{4.4.4}} = \frac{{ – 27}}{{64}}\\{\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{1.1.1.1.1}}{{2.2.2.2.2}} = \frac{1}{{32}}\end{array}\)\(\)


Hoạt động 2

Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a)\({2^m}{.2^n}\) b)\({3^m}:{3^n}\) với \(m \ge n\)

 

Lời giải:

a) \({2^m}{.2^n}=\underbrace {2.2 \ldots .2}_{m{\rm{ }}}{\rm{ }}.\underbrace {2.2 \ldots .2}_{n{\rm{ }}}{\rm{ }}\) = 2m+n

b) \({3^m}:{3^n}=(\underbrace {3.3 \ldots .3}_{m{\rm{ }}}{\rm{ }}):(\underbrace {3.3 \ldots .3}_{n{\rm{ }}}{\rm{ }})\) = 3m-n với \(m \ge n\)

 

Luyện tập vận dụng 3

Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a)\(\frac{6}{5}.{\left( {1,2} \right)^8};\)

b)\({\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right)^7}:\frac{{16}}{{81}}\)

Phương pháp giải:

Viết các số dưới dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên

\(\begin{array}{l}{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\left( {m,n \in \mathbb{N}} \right)\\{x^m}:{x^n} = {x^{m – n}}\left( {x \ne 0;m \ge n;\,m,n \in \mathbb{N}} \right)\end{array}\)

Lời giải:

a) \(\frac{6}{5}.{\left( {1,2} \right)^8} = 1,2.{(1,2)^8} = {(1,2)^{1 + 8}} = {(1,2)^9}\)

b) \({\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right)^7}:\frac{{16}}{{81}} = {\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right)^7}:{\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right)^2} = {\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right)^{7 – 2}} = {\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right)^5}\)


 

 

Hoạt động 3

So sánh: \({\left( {{{15}^3}} \right)^2}\) và \({15^{3.2}}\).

Phương pháp giải:

\({x^n} = \underbrace {x.x \ldots .x}_{n{\rm{ }}}{\rm{ }}\) (\(n \in {\mathbb{N}^*}\))

Lời giải:

Ta có: \({\left( {{{15}^3}} \right)^2}\) = 153 . 153 = 153+3 = 156

\({15^{3.2}}\) = 156

Vậy \({\left( {{{15}^3}} \right)^2}\) = \({15^{3.2}}\)

 

Luyện tập vận dụng 4

Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa của a:

a)\({\left[ {{{\left( { – \frac{1}{6}} \right)}^3}} \right]^4}\) với \(a = – \frac{1}{6}\).

b)\({\left[ {{{\left( { – 0,2} \right)}^4}} \right]^5}\) với \(a = – 0,2\).

 

Lời giải:

a)\({\left[ {{{\left( { – \frac{1}{6}} \right)}^3}} \right]^4}\) (với \(a = – \frac{1}{6}\))

\(=(- \frac{1}{6})^{3. 4}=(- \frac{1}{6})^{12}\)

b)\({\left[ {{{\left( { – 0,2} \right)}^4}} \right]^5}\) (với \(a = – 0,2\))

\(=(-0,2)^{4.5}=(-0,2)^{20}\)


 

Bài 1 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

Tìm số thích hợp cho “?” trong bảng sau:

Lũy thừa

\({\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^4}\)

\({\left( {0,1} \right)^3}\)

?

?

?

Cơ số

?

\(0,1\)

1,5

\(\frac{1}{3}\)

2

Số mũ

?

?

2

4

?

Giá trị lũy thừa

?

?

?

?

1

 

Lời giải chi tiết

Lũy thừa

\({\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^4}\)

\({\left( {0,1} \right)^3}\)

\({\left( {1,5} \right)^2}\)

\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^4}\)

\({2^0}\)

Cơ số

\(\frac{{ – 3}}{2}\)

\(0,1\)

1,5

\(\frac{1}{3}\)

2

Số mũ

4

\(3\)

2

4

0

Giá trị lũy thừa

\(\frac{{81}}{{16}}\)

\(0,001\)

\(2,25\)

\(\frac{1}{{81}}\)

1

 

 


 

Bài 2 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

So sánh:

a) \({( – 2)^4} \cdot {( – 2)^5}\) và \({( – 2)^{12}}:{( – 2)^3}\);

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6}\) và \({\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4}} \right]^2}\)

c) \({(0,3)^8}:{(0,3)^2}\) và \({\left[ {{{(0,3)}^2}} \right]^3}\);

d) \({\left( { – \frac{3}{2}} \right)^5}:{\left( { – \frac{3}{2}} \right)^3}\) và \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\).

 

Lời giải chi tiết

a) \({( – 2)^4} \cdot {( – 2)^5} = {\left( { – 2} \right)^{4 + 5}} = {\left( { – 2} \right)^9}\)

\({( – 2)^{12}}:{( – 2)^3} = {\left( { – 2} \right)^{12 – 3}} = {\left( { – 2} \right)^9}\)

Vậy \({( – 2)^4} \cdot {( – 2)^5}\) = \({( – 2)^{12}}:{( – 2)^3}\);

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 + 6}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^8}\)

 

\({\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4}} \right]^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{4.2}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^8}\)

Vậy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6}\) = \({\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4}} \right]^2}\)

c) \({(0,3)^8}:{(0,3)^2} = {\left( {0,3} \right)^{8 – 2}} = {\left( {0,3} \right)^6}\)

\({\left[ {{{(0,3)}^2}} \right]^3} = {\left( {0,3} \right)^{2.3}} = {\left( {0,3} \right)^6}\)

Vậy \({(0,3)^8}:{(0,3)^2}\)= \({\left[ {{{(0,3)}^2}} \right]^3}\).

d) \({\left( { – \frac{3}{2}} \right)^5}:{\left( { – \frac{3}{2}} \right)^3} = {\left( { – \frac{3}{2}} \right)^{5 – 3}} = {\left( { – \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)

Vậy \({\left( { – \frac{3}{2}} \right)^5}:{\left( { – \frac{3}{2}} \right)^3}\) = \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\).


 

Bài 3 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

Tìm x, biết:

a) \({(1,2)^3}.x = {(1,2)^5};\)

b) \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^7}:x = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^6}\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{(1,2)^3}.x = {(1,2)^5}\\x = {(1,2)^5}:{(1,2)^3}\\x = {(1,2)^2}\\x = 1,44\end{array}\)

Vậy \(x = 1,44\).

b)

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^7}:x = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^6}\\x = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^7}:{\left( {\frac{2}{3}} \right)^6}\\x = \frac{2}{3}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{2}{3}\).


Bài 4 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng luỹ thừa của \(a\) :

a) \({\left( {\frac{8}{9}} \right)^3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3}\) với \(a = \frac{8}{9};\)

b) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^7} \cdot 0,25\) với \(a = 0,25\);

c) \({( – 0,125)^6}:\frac{{ – 1}}{8}\) với \(a = – \frac{1}{8};\)

d) \({\left[ {{{\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)}^3}} \right]^2}\) với \(a = \frac{{ – 3}}{2}\).

 

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\frac{8}{9}} \right)^3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = {\left( {\frac{8}{9}} \right)^3}.\frac{8}{9} = {\left( {\frac{8}{9}} \right)^{3+1}}={\left( {\frac{8}{9}} \right)^4}\)

b) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^7} \cdot 0,25 = {\left( {0,25} \right)^7}.0,25 ={\left( {0,25} \right)^{7+1}}= {\left( {0,25} \right)^8}\)

c) \({( – 0,125)^6}:\frac{{ – 1}}{8} = {\left( {\frac{{ – 1}}{8}} \right)^6}:\frac{{ – 1}}{8} = {\left( {\frac{{ – 1}}{8}} \right)^{6-1}}= {\left( {\frac{{ – 1}}{8}} \right)^5}\)

d) \({\left[ {{{\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)}^3}} \right]^2} = {\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^{3.2}} = {\left( {\frac{{ – 3}}{2}} \right)^6}\)


 

Bài 5 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

Cho \(x\) là số hữu tỉ. Viết \({x^{12}}\) dưới dạng:

a) Luỹ thừa của \({x^2}\);

b) Luỹ thừa của \({x^3}\).

Lời giải chi tiết

a)\({x^{12}} = {x^{2.6}} = {\left( {{x^2}} \right)^6}\)

b) \({x^{12}} = {x^{3.4}} = {\left( {{x^3}} \right)^4}\)


Bài 6 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

Trên bản đồ có tỉ lệ 1 : 100 000, một cánh đồng lúa có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 0,7 cm. Tính diện tích thực tế theo đơn vị mét vuông của cánh đồng lúa đó (viết kết quả dưới dạng a . 10n với 1 ≤ a < 10)

Lời giải:

Độ dài một cạnh của cánh đồng hình vuông trên thực tế là:

0,7 . 100 000 = 70 000 (cm) = 700 (m).

Diện tích của cánh đồng hình vuông trên thực tế là:

7002 = 490 000 (m2) = 4,9 . 10(m2).

Vậy diện tích thực tế của cánh đồng lúa đó là 4,9 . 10m2.


 

Bài 7 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1:

 

Biết vận tốc ánh sáng xấp xỉ bằng 299 792 458 m/s và ánh sáng Mặt Trời cần khoảng 8 phút 19 giây mới đến được Trái Đất.

Khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng bao nhiêu ki-lô-mét?

Lời giải:

Đổi 8 phút 19 giây = 499 giây.

Khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng:

299 792 458 . 499 ≈ 1,495 964 365 . 1011 = 149 596 436,5 . 103 (m)

≈ 149 596 437 (km).

Vậy khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng 149 596 437 km.


 

Bài 8 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1:

Hai mảnh vườn có dạng hình vuông. Mảnh vườn thứ nhất có độ dài cạnh là 19,5 m. Mảnh vườn thứ hai có độ dài cạnh là 6,5 m. Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp bao nhiêu lần mảnh vườn thứ hai?

Lời giải:

Diện tích mảnh vườn thứ nhất là:

19,52 = 380,25 (m2)

Diện tích mảnh vườn thứ hai là:

6,52 = 42,25 (m2)

Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp mảnh vườn thứ hai số lần là:

380,25 : 42,25 = 9 (lần).

Vậy diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp 9 lần mảnh vườn thứ hai.

 


 

Bài 9 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1:

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Urani 238 là 4,468 . 109 năm (nghĩa là sau 4,468 . 109 năm khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa).

a) Ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ đó là bao nhiêu năm?

b) Sau ba chu kì bán rã, khối lượng của nguyên tố phóng xạ đó còn lại bằng bao nhiêu phần khối lượng ban đầu?

Lời giải chi tiết

a) Ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ đó là: 3. 4,468 . 109= 13,404. 109=1,3404.1010 (năm)

b) Sau ba chu kì bán rã, khối lượng của nguyên tố phóng xạ đó còn lại \(\dfrac{1}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{8}\) khối lượng ban đầu.


Bài 10 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1:

 

Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên dương để biểu thị những số rất lớn. Ta gọi một số hữu tỉ dương được viết theo kí hiệu khoa học (hay theo dạng chuẩn) nếu nó có dạng a . 10n với 1 ≤ a < 10 và n là một số nguyên dương. Ví dụ, khối lượng của Trái Đất viết theo kí hiệu khoa học là 5,9724 . 1024 kg.

Viết các số sau theo kí hiệu khoa học (với đơn vị đã cho):

a) Khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất khoảng 384 400 km;

b) Khối lượng của Mặt Trời khoảng 1 989 . 1027 kg;

c) Khối lượng của Sao Mộc khoảng 1 898 . 1024 kg.

Lời giải:

a) Khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất viết theo kí hiệu khoa học là:

384 400 km = 3,844 . 105 km.

Vậy khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất khoảng 3,844 . 105 km.

b) Khối lượng của Mặt Trời viết theo kí hiệu khoa học là:

1 989 . 1027 kg = 1,989 . 1030 kg.

Vậy khối lượng của Mặt Trời khoảng 1,989 . 1030 kg.

c) Khối lượng của Sao Mộc viết theo kí hiệu khoa học là:

1 898 . 1024 kg = 1,898 . 1027 kg.

Vậy khối lượng của Sao Mộc khoảng 1,898 . 1027 kg.

 


 

Bài 11 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1:

Sử dụng máy tính cầm tay

Nút luỹ thừa: (ở một số máy tính nút luỹ thừa còn có dạng )

Nút phân số:

Nút chuyển xuống để ghi số hoặc dấu:

Nút chuyển sang phải để ghi số hoăc dấu:

Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) \({(3,147)^3};\)

b) \({( – 23,457)^5};\)

c) \({\left( {\frac{4}{{ – 5}}} \right)^4}\);

d) \({(0,12)^2} \cdot {\left( {\frac{{ – 13}}{{28}}} \right)^5}\).

Lời giải chi tiết

a) \({(3,147)^3} \approx 31,167\)

b) \({( – 23,457)^5} \approx – 7\,101\,700,278\)

c) \({\left( {\frac{4}{{ – 5}}} \right)^4} = \frac{{256}}{{625}}\);

d) \({(0,12)^2} \cdot {\left( {\frac{{ – 13}}{{28}}} \right)^5} \approx – 3,{107.10^{ – 4}}\).

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều