Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

 

Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ: \(a + b = b + a;a(a + 2) = {a^2} + 2a\) là những hằng đẳng thức.

\({a^2} – 1 = 3a;a(a – 1) = 2a\) không phải là những hằng đẳng thức.

1. Bình phương của một tổng là gì?

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({101^2} = {(100 + 1)^2} = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} = 10201\)

2. Bình phương của một hiệu là gì?

\({\left( {A – B} \right)^2} = {A^2} – 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({99^2} = {(100 – 1)^2} = {100^2} – 2.100.1 + {1^2} = 9801\)

3. Hiệu hai bình phương là gì?

\({A^2} – {B^2} = (A – B)(A + B)\)

Ví dụ: \({101^2} – {99^2} = (101 – 99)(101 + 99) = 2.200 = 400\)

4. Lập phương của một tổng là gì?

\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

Ví dụ: \({\left( {x + 3} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}.3 + 3x{.3^2} + {3^3} = {x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\)

5. Lập phương của một hiệu là gì?

\({\left( {A – B} \right)^3} = {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)

Ví dụ: \({\left( {x – 3} \right)^3} = {x^3} – 3{x^2}.3 + 3x{.3^2} – {3^3} = {x^3} – 9{x^2} + 27x – 27\)

6. Tổng hai lập phương là gì?

\({A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} – AB + {B^2}} \right)\)

Ví dụ: \({x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = (x + 2)({x^2} – 2x + 4)\)

7. Hiệu hai lập phương là gì?

\({A^3} – {B^3} = (A – B)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

Ví dụ: \({x^3} – 8 = \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)

 


Khởi động trang 18 Toán 8 Tập 1: Diện tích của hình vuông MNPQ (Hình 4) có thể được tính theo những cách nào?

 

 

 

Lời giải:

Ta đặt tên các điểm A, B, C, D như hình vẽ:

 

Diện tích của hình vuông MNPQ có thể được tính theo những cách sau:

Cách 1. Tính theo tổng diện tích của 4 hình AMCE, ANDE, BEDP, BECQ.

Cách 2. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: MNDC, CDPQ.

Cách 3. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: ABQM, ABPN.

Cách 4. Tìm độ dài một cạnh của hình vuông MNPQ rồi tính diện tích.


 

Hoạt động 1 trang 18 Toán 8 Tập 1: Xét hai biểu thức: P = 2(x + y) và Q = 2x + 2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:

a) Tại x = 1; y = −1;

b) Tại x = 2; y = −3.

Lời giải:

a) Thay x = 1; y = −1 vào biểu thức P và Q, ta được:

• P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;

• Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0.

Vậy tại x = 1; y = −1 thì P = Q.

b) Thay x = 2; y = −3 vào biểu thức P và Q, ta được:

• P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;

• Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2.

Vậy tại x = 2; y = −3 thì P = Q.


 

Lời giải:

Ta có x(xy2 + y) – y(x2y + x) = x . xy2 + x . y – y . x2y – y . x

= x2y2 + xy – x2y2 – xy = (x2y2 – x2y2) + (xy – xy) = 0 + 0 = 0 (đpcm)


 

Hoạt động 2 trang 18 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) (a + b)(a + b);

b) (a – b)(a – b).

Lời giải:

a) (a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a2 + 2ab + b2;

b) (a – b)(a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a2 – 2ab + b2.


 

Luyện tập 2 trang 19 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\];

b) (2x + y)2;

c) (3 – x)2;

d) (x – 4y)2.

 

 

Lời giải:

a) \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} = {x^2} + 2.x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {x^2} + x + \frac{1}{4}\];

b) (2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + y2 = 4x2 + 4xy + y2;

c) (3 – x)2 = 32 – 2 . 3 . x + x2;

d) (x – 4y)2 = x2 – 2 . x . 4y + (4y)2 = x2 – 8xy + 16y2.

 


 

Luyện tập 3 trang 19 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \[{y^2} + y + \frac{1}{4}\];

b) y2 + 49 – 14y.

 

 

Lời giải:

a) \[{y^2} + y + \frac{1}{4} = {y^2} + 2.\frac{1}{2}y + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\];

b) y2 + 49 – 14y = y2 – 2 . 7 . y + 72 = (y – 7)2.


 

Luyện tập 4 trang 19 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: 492.

 

 

Lời giải:

Ta có 492 = (50 – 1)2 = 502 – 2 . 50 . 1 + 12

= 2500 – 100 + 1 = 2400 + 1 = 2401.


 

Hoạt động 3 trang 19 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính: (a – b)(a + b).

 

 

Lời giải:

Ta có: (a – b)(a + b) = a . a + a . b – b . a + b . b = a2 – b2.


 

Luyện tập 5 trang 20 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 9x2 – 16;

b) 25 – 16y2.

 

 

Lời giải:

a) 9x2 – 16 = (3x)2 – 42 = (3x + 4)(3x – 4);

b) 25 – 16y2 = 52 – (4y)2 = (5 + 4y)(5 – 4y).


 

Luyện tập 6 trang 20 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (a – 3b)(a + 3b);

b) (2x + 5)(2x – 5);

c) (4y – 1)(4y + 1).

 

 

Lời giải:

a) (a – 3b)(a + 3b) = a2 – (3b)2 = a2 – 9b2;

b) (2x + 5)(2x – 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25;

c) (4y – 1)(4y + 1) = (4y)2 – 1 = 16y2 – 1.


 

Luyện tập 7 trang 20 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: 48 . 52.

 

 

Lời giải:

Ta có: 48 . 52 = (50 – 2)(50 + 2) = 502 – 22 = 2500 – 4 = 2496.


 

Hoạt động 4 trang 20 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) (a + b)(a + b)2;

b) (a – b)(a – b)2.

 

 

Lời giải:

a) (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a . a2 + a . 2ab + a . b2 + b . a2 + b . 2ab + b . b2

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

b) (a – b)(a – b)2 = (a – b)(a2 – 2ab + b2)

= a . a2 – a . 2ab + a . b2 – b . a2 + b . 2ab – b . b2

= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.


 

Luyện tập 8 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (3 + x)3;

b) (a + 2b)3;

c) (2x – y)3.

 

 

Lời giải:

a) (3 + x)3 = 33 + 3 . 32 . x + 3 . 3 . x2 + x3 = 27 + 27x + 9x2 + x3;

b) (a + 2b)3 = a3 + 3 . a2 . 2b + 3 . a . (2b)2 + (2b)3

= a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3;

c) (2x – y)3 = 2x3 – 3 . (2x)2 . y + 3 . 2x . y2 – y3

= 2x3 – 12x2y + 6xy2 – y3.


 

Luyện tập 9 trang 21 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3.

 

 

Lời giải:

Ta có: 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

= (2x)3 – 3 . (2x)2 . 3y + 3 . 2x . (3y)2 – (3y)3

= (2x – 3y)3.


Luyện tập 10 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: 1013 – 3 . 1012 + 3 . 101 – 1.

 

 

Lời giải:

Ta có 1013 – 3 . 1012 + 3 . 101 – 1

= 1013 – 3 . 1012 . 1 + 3 . 101 . 12 – 13

= (101 – 1)3 = 1003 = 1 000 000.


 

Hoạt động 5 trang 21 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) (a + b)(a2 – ab + b2);

b) (a – b)(a2 + ab + b2).

 

 

Lời giải:

a) (a + b)(a2 – ab + b2) = a . a2 – a . ab + a . b2 + b . a2 – b . ab + b . b2

= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3.

b) (a – b)(a2 + ab + b2) = a . a2 + a . ab + a . b2 – b . a2 – b . ab – b . b2

= a3 + a2b + a2b – a2b – a2b – b3 = a3 – b3.


 

Luyện tập 11 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 27x3 + 1;

b) 64 – 8y3.

 

 

Lời giải:

a) 27x3 + 1 = (3x)3 + 13 = (3x + 1)[(3x)2 – 3x . 1 + 12]

= (3x + 1)(9x2 – 3x + 1);

b) 64 – 8y3 = 43 – (2y)3 = (4 + 2y)(4 – 2y).


 

Bài 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 4x2 + 28x + 49;

b) 4a2 + 20ab + 25b2;

c) 16y2 – 8y + 1;

d) 9x2 – 6xy + y2.

 

 

Lời giải:

a) 4x2 + 28x + 49 = (2x)2 + 2 . 2x . 7 + 72 = (2x + 7)2;

b) 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a)2 + 2 . 2a . 5b + (5b)2 = (2a + 5b)2;

c) 16y2 – 8y + 1 = (4y)2 – 2 . 4y . 1 + 12 = (4y – 1)2;

d) 9x2 – 6xy + y2 = (3x)2 – 2 . 3x . y + y2 = (3x – y)2.


 

Bài 2 trang 23 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) a3 +12a2 + 48a + 64;

b) 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3;

c) x3 – 9x2 + 27x – 27;

d) 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3.

 

 

Lời giải:

a) a3 +12a2 + 48a + 64 = a3 + 3 . a2 . 4 + 3 . a . 42 + 43 = (a + 4)3;

b) 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

= (3x)3 + 3 . (3x)2 . 2y + 3 . 3x . (2y)2 + (2y)3

= (3x + 2y)3;

c) x3 – 9x2 + 27x – 27 = x3 – 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 – 33 = (x – 3)3;

d) 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 = (2a)3 – 3 . (2a)2b + 3 . 2ab2 – b3 = (2a – b)3.


 

Bài 3 trang 23 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 25x2 – 16;

b) 16a2 – 9b2;

c) 8x3 + 1;

d) 125x3 + 27y3;

e) 8x3 – 125;

g) 27x3 – y3.

 

 

Lời giải:

a) 25x2 – 16 = (5x)2 – 42 = (5x + 4)(5x – 4);

b) 16a2 – 9b2 = (4a)2 – (3b)2 = (4a + 3b)(4a – 3b);

c) 8x3 + 1 = (2x)3 + 1 = (2x + 1)[(2x)2 – 2x . 1 + 12] = (2x + 1)(4x2 – 2x + 1);

d) 125x3 + 27y3 = (5x)3 + (3y)3 = (5x + 3y)[(5x)2 – 5x . 3y + (3y)2]

= (5x + 3y)(25x2 – 15xy + 9y2);

e) 8x3 – 125 = (2x)3 – 53 = (2x – 5)[(2x)2 + 2x . 5 + 52]

= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25);

g) 27x3 – y3 = (3x)3 – y3 = (3x – y)[(3x)2 + 3x.y + y2].


 

Bài 4 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức:

a) A = x2 + 6x + 10 tại x = −103;

b) B = x3 + 6x2 + 12x + 12 tại x = 8.

 

 

Lời giải:

a) Ta có A = x2 + 6x + 10 = x2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)2 + 1.

Thay x = −103 vào biểu thức A, ta được:

A = (−103 + 3)2 + 1 = (−100)2 + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.

Vậy A = 10 001 tại x = −103.

b) Ta có B = x3 + 6x2 + 12x + 12 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 + 4

= (x + 2)3 + 4.

Thay x = 8 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 + 2)3 + 4 = 103 + 4 = 1004.

Vậy B = 1004 tại x = 8.


 

Bài 5 trang 23 Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) C = (3x – 1)2 + (3x + 1)2 – 2(3x – 1)(3x + 1);

b) D = (x + 2)3 – (x – 2)3 – 12(x2 + 1);

c) E = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (x – 2)(x2 + 2x + 4);

d) G = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8(x + 2)(x2 – 2x + 4).

 

 

Lời giải:

a) Ta có C = (3x – 1)2 + (3x + 1)2 – 2(3x – 1)(3x + 1)

= [(3x – 1) – (3x + 1)]2= (3x – 1 – 3x – 1)2

= (– 1 – 1)2= (–2)2= 4.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)3 – (x – 2)3 – 12(x2 + 1)

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)2 + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)2] – 12(x2 + 1)

= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)2 + x2 – 22 + (x – 2)2] – 12x2 – 12

= 4(x2 + 4x + 4 + x2 – 4 +x2– 4x + 4) – 12x2 – 12

= 4(3x2 + 4) – 12x2 – 12

= 12x2 + 16 – 12x2 – 12 = 4.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (x – 2)(x2 + 2x + 4)

= (x3 + 33) – (x3 – 23) = x3 + 27 – x3+ 8 = 35.

Vậy biểu thức E không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8(x + 2)(x2 – 2x + 4)

= [(2x)3 – 13]– 8(x3 + 23) = (8x3 – 1) – 8(x3 + 8)

= 8x3 – 1–8x3 – 64 = – 65.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.


 

Bài 6 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: (0,76)3 + (0,24)3 + 3 . 0,76 . 024.

 

 

Lời giải:

Ta có (0,76)3 + (0,24)3 + 3 . 0,76 . 024

= (0,76 + 0,24)3 – 3 . 0,76 . 024 . (0,76 + 024) + 3 . 0,76 . 024

= 13 – 3 . 0,76 . 024 . 1 + 3 . 0,76 . 024

= 1 – 3 . 0,76 . 024 + 3 . 0,76 . 024 = 1.

Vậy (0,76)3 + (0,24)3 + 3 . 0,76 . 024 = 1.

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 1

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 2

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều