Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

 

Khởi động trang 116 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB (Hình 132).

 

Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP.

Lời giải:

Ba đường thẳng AM, BN, CP tương ứng là đường cao của các đoạn thẳng BC, CA, AB.


 

Hoạt động 1 trang 116 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 133).

 

Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

 


 

Luyện tập 1 trang 117 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C.

Lời giải:

 

Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.

Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.


 

Hoạt động 2 trang 117 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC (Hình 137), cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không.

 

Lời giải:

Ta thấy ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H.


 

Luyện tập 2 trang 117 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

 

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB.

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và \[\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Do M là trung điểm của AC nên AM = CM.

Xét ∆BAM và ∆BCM có:

BA = BC (chứng minh trên).

(chứng minh trên).

AM = CM (chứng minh trên).

Do đó ∆BAM = ∆BCM (c – g – c).

Suy ra \[\widehat {BMA} = \widehat {BMC}\](2 góc tương ứng).

Mà \[\widehat {BMA} + \widehat {BMC} = 180^\circ \]nên \[\widehat {BMA} = \widehat {BMC} = 90^\circ \].

Do đó BM là đường cao của tam giác ABC.

Tương tự CN là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.


 

Luyện tập 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB, BH ⊥ AC hay CN ⊥ AB, BM ⊥ AC.

Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC (1).

Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó CA = CB (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.


 

Bài 1 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:

a) AH và BC;

b) BH và CA;

c) CH và AB.

Lời giải:

 

a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.

c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.


 

Bài 2 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Lời giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

 

Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.

b) Ta có hình vẽ sau:

 

Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

c) Ta có hình vẽ sau:

 

Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.


 

Bài 3 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.

Lời giải:

 

Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC ⊥ AB.


 

Bài 4 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BECF cắt nhau tại H, \(\widehat {HCA} = 25^\circ \). Tính \(\widehat {BAC}\)và \(\widehat {HBA}\).

Lời giải chi tiết

 

Xét tam giác AFC có: \(\widehat {HCA} = 25^\circ \); \(\widehat {AFC} = 90^\circ \) (vì CF vuông góc với AB).

Nên: \(\widehat {FAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ – 25^\circ = 65^\circ \).

Xét tam giác AEB có: \(\widehat {BAC} = 65^\circ \); \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)(vì BE vuông góc với AC).

Nên: \(\widehat {ABE} = \widehat {HBA} = 90^\circ – 65^\circ = 25^\circ \).


 

Bài 5 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

 

Lời giải:

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.

Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.

Do AB // CD nên AK ⊥ AB.

Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.

Do AD // BC nên AH ⊥ AD.

Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.


 

Bài 6 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2:

Cho tam giác ABCG là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

 

Lời giải chi tiết

a)

Ta có:

G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);

H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);

I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;

O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).

Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.


Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

b)

Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).

Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)

AD chung;

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

 

 

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều