Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

 

Khởi động trang 108 Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó (Hình 109).

 

Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Lời giải:

Ba nếp gấp đó lần lượt là 3 đường phân giác của 3 góc của tam giác.


 

Hoạt động 1 trang 108 Toán lớp 7 Tập 2: Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?

 

Lời giải:

A là đỉnh của tam giác ABC, D là giao điểm của đường phân giác của góc A và cạnh BC.


 

Luyện tập 1 trang 109 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.

Lời giải:

 

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AD là đường phân giác của ∆ABC nên \[\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\].

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (chứng minh trên).

(chứng minh trên).

AD chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c – g – c).

Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng).

Mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC hay AD là đường trung tuyến của ∆ABC.


 

Hoạt động 2 trang 109 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (Hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.

 

Lời giải:

Ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.

 


Luyện tập 2 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Tìm số đo x trong Hình 115.

 

Lời giải:

Ta thấy đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do đó AI là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\].

Suy ra x = 30o.


 

Hoạt động 3 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát giao điểm I của ba đường phân giác trong tam giác ABC (Hình 116) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng IM, IN, IP.

 

Lời giải:

Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

(theo giả thiết).

AI chung.

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra IP = IN (2 cạnh tương ứng) (1).

Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:

(theo giả thiết).

BI chung.

Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra IP = IM (2 cạnh tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) ta có IP = IM = IN.


 

Luyện tập 3 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Lời giải:

 

+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.

Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực của NP.

Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).

Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.

Do đó IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.

Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.

Do đó IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).

Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.

Do đó IC là đường trung trực của MN.


 

Bài 1 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Lời giải:

 

a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IP.

Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.

Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.

Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.

b) Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

Xét ∆BIP vuông tại P và BIM vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.


 

Bài 2 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \);

b) \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).

 

Lời giải chi tiết

 

a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:

\(\widehat {IAB} = \widehat {IAC};\widehat {IBA} = \widehat {IBC};\widehat {ICB} = \widehat {ICA}\).

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = 180^\circ \\\widehat {IAB} + \widehat {IAC} + \widehat {IBA} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \\2\widehat {IAB} + 2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICA} = 180^\circ \end{array}\)

 

Vậy \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \).

b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:

\(\begin{array}{l}\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \\\widehat {BIC} = 180^\circ – (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\end{array}\).

Mà \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ \)→ \(\widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ – \widehat {IAB}\).

Vậy: \(\begin{array}{l}\widehat {BIC} = 180^\circ – (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\\\widehat {BIC} = 180^\circ – (90^\circ – \widehat {IAB})\\\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB}\end{array}\)

Mà \(\widehat {IAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\)(IA là phân giác của góc BAC).

Vậy \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).


 

Bài 3 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại IAB < AC.

a) Chứng minh \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\);

b) So sánh IBIC.

 

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\)(góc ABC đối diện với cạnh AC; góc ACB đối diện với cạnh AB).

BICI là hai đường phân giác của góc ABC và góc ACB nên: \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\)

(Vì: \(\widehat {CBI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC};\widehat {ACI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)).

b) Ta có: \(\widehat {ACI} = \widehat {BCI}\)

Mà \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\) ( câu a)

 

Do đó \(\widehat {CBI} > \widehat {BCI}\).

IC đối diện với góc CBI; IB đối diện với góc BCI.

Vậy IC > IB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).

 

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều