Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

 

Khởi động trang 104 Toán lớp 7 Tập 2: Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G.

 

Điểm G được xác định như thế nào?

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Lời giải:

Điểm G là trọng tâm của tam giác được tạo bởi ba đỉnh của miếng bìa.


 

Hoạt động 1 trang 104 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.

 

Lời giải:

Ta thấy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.


 

Luyện tập 1 trang 105 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?

 

Lời giải:

K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến của tam giác AKC.

H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến của tam giác BHC.


 

Hoạt động 2 trang 105 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.

 

Lời giải:

Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.


 

Luyện tập 2 trang 105 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Lời giải:

 

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.


 

Hoạt động 3 trang 106 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 104.

 

Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số \[\frac{{AG}}{{AM}},\,\,\frac{{BG}}{{BN}},\,\,\frac{{CG}}{{CP}}.\]

Lời giải:

Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:

; \[\frac{{BG}}{{BN}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]; \[\frac{{CG}}{{CP}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\].


 

Bài 1 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

GA + GB + GC = \[\frac{2}{3}\](AM + BN + CP).

Lời giải:

 

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GA = \[\frac{2}{3}\]AM; GB = \[\frac{2}{3}\]BN; GC = \[\frac{2}{3}\]CP.

Do đó GA + GB + GC = \[\frac{2}{3}\]

AM + \[\frac{2}{3}\]BN + \[\frac{2}{3}\]CP = \[\frac{2}{3}\](AM + BN + CP).

 


Bài 2 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) ∆GBC cân tại G.

Lời giải:

 

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét ∆NBC và ∆MCB có:

BN = MC (chứng minh trên).

(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó ∆NBC = ∆MCB (c – g – c).

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GB = \[\frac{2}{3}\]BM; GC = \[\frac{2}{3}\]CN.

Mà BM = CN nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên tam giác GBC cân tại G.


 

Bài 3 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) ∆MBG = ∆MCD;

c) CD = 2GN.

Lời giải:

 

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = \[\frac{1}{2}\]GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = \[\frac{1}{2}\]GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét ∆MBG và ∆MCD có:

MB = MC (theo giả thiết).

(2 góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆MBG = ∆MCD (c – g – c).

c) Do ∆MBG = ∆MCD (c – g – c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.

 


 

Bài 4 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) ∆AHB = ∆AHM;

b) .

Lời giải:

 

a) Do H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHM vuông tại H có:

AH chung.

HB = HM (theo giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông).

b) Do ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông) nên AB = AM (2 cạnh tương ứng).

∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AG = \[\frac{2}{3}\]AM.

Mà AB = AM nên AG = \[\frac{2}{3}\]AB.


Bài 5 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2:

Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.

 

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BH = HC = \(\dfrac{1}{2}\). BC

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

AH chung

AB = AC

BH = HC

\(\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)

\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=180^0 : 2 = 90^0\)

Vậy AH có vuông góc với BC.

 

b) Vị trí O ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách OH.

Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng \(3,3.3 = 9,9\)(m).

O là trọng tâm tam giác ABC nên \(OH = \dfrac{1}{3}AH\). Vậy \(OH = \dfrac{1}{3}.1,2 = 0,4\)(m).

Vậy vị trí O ở độ cao: \(9,9 + 0,4 = 10,3\)m so với mặt đất.

 

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Toán 7 – Cánh Diều