Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều

 

I. Số hữu tỉ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0)\)

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q

Ví dụ: \( – 7,21;\frac{{ – 7}}{{ – 9}};\frac{0}{{ – 2}};2\frac{3}{8};…\) là các số hữu tỉ

Chú ý :

+ Các số thập phân đã biết đều là các số hữu tỉ. Các số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ

+ Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỉ

Ví dụ: – \(\frac{9}{{30}}\)= \(\frac{{ – 3}}{{10}}\) nên 2 phân số – \(\frac{9}{{30}}\) và \(\frac{{ – 3}}{{10}}\) cùng biểu diễn 1 số hữu tỉ

II. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số

Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ a được gọi là điểm a.

Ta chọn phân số tối giản để biểu diễn số hữu tỉ.

III. Số đối của một số hữu tỉ

+ Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) là số hữu tỉ -\(\frac{a}{b}\)

Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ a được gọi là điểm a.

Trên trục số, 2 điểm biểu diễn 2 số hữu tỉ đối nhau a và –a nằm về 2 phía khác nhau so với điểm O và có cùng khoảng cách đến O.

 

Ví dụ: -5 là số đối của 5

IV. So sánh hai số hữu tỉ

+ Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh 2 phân số đó.

+ Với 2 số hữu tỉ a và b bất kì, ta luôn có hoặc a = b, hoặc a < b, hoặc a > b

+ Cho 3 số hữu tỉ a, b, c. Nếu a < b; b < c thì a < c ( Tính chất bắc cầu)

+ Trên trục số, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b

+ Các số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là các số hữu tỉ dương.

+ Các số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là các số hữu tỉ âm.

+ Số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương.

Chú ý: Trên trục số, các điểm nằm trước gốc O biểu diễn số hữu tỉ âm; các điểm nằm sau gốc O biểu diễn số hữu tỉ dương.

* Cách so sánh hai số hữu tỉ:

Ta viết chúng về cùng dạng phân số (hoặc dạng số thập phân) rồi so sánh chúng.

 


 

Khởi động trang 5 Toán lớp 7 Tập 1: Nhiệt độ lúc 13 giờ ngày 24/01/2016 tại một số trạm đo được cho bởi bảng sau:

 

Các số chỉ nhiệt độ nêu trên có viết được dưới dạng phân số không?

Lời giải:

Các chỉ số nhiệt độ đã cho trong bảng trên là −1,3 oC; −0,5 oC; 0,3 oC; −3,1 oC.

Ta có -1,3 = \[\frac{{ – 13}}{{10}}\]; -0,5 = \[\frac{{ – 5}}{{10}}\];

0,3 = \[\frac{3}{{10}}\];  \[\frac{{ – 31}}{{10}}\].

Vì các số  \[\frac{{ – 13}}{{10}};\;\frac{{ – 5}}{{10}};\frac{3}{{10}};\frac{{ – 31}}{{10}}\]là các phân số nên các số −1,3; −0,5; 0,3; −3,1 viết được dưới dạng phân số.

Vậy các số chỉ nhiệt độ −1,3 oC; −0,5 oC; 0,3 oC; −3,1 oC viết được dưới dạng phân số.


Hoạt động 1 trang 5 Toán lớp 7 Tập 1: Viết các số

dưới dạng phân số.

Lời giải:

Ta có: \[ – 3 = \frac{{ – 3}}{1};\,\,0,5 = \frac{5}{{10}};\,\,2\frac{3}{7} = \frac{{2\,.\,7 + 3}}{7} = \frac{{17}}{7}\] .

Các số \[\frac{{ – 3}}{1};\,\,\frac{5}{{10}};\,\,\frac{{17}}{7}\]là các phân số.

Vậy các số \[ – 3;\,\,0,5;\,\,2\frac{3}{7}\]viết được dưới dạng phân số lần lượt là:\[\frac{{ – 3}}{1};\,\,\frac{5}{{10}};\,\,\frac{{17}}{7}\]


 

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 7 Tập 1: Các số 21 ; −12; \[\frac{{ – 7}}{{ – 9}}\] ; −4,7; −3,05 có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có \[21 = \frac{{21}}{1}; – 12 = \frac{{ – 12}}{1};\frac{{ – 7}}{{ – 9}} = \frac{7}{9}; – 4,7 = \frac{{ – 47}}{{10}}; – 3,05 = \frac{{ – 305}}{{100}} = \frac{{ – 61}}{{20}}\]

Vì các số \[\frac{{21}}{1};\frac{{ – 12}}{1};\frac{7}{9};\frac{{ – 47}}{{10}};\frac{{ – 305}}{{100}}\] có dạng \[\frac{a}{b}\], với a, b ∈ ℤ , b ≠ 0.

Nên chúng là số hữu tỉ.

Vậy các số 21 ; −12; \[\frac{{ – 7}}{{ – 9}}\] ; −4,7; −3,05 là số hữu tỉ.


 

Hoạt động 2 trang 6 Toán lớp 7 Tập 1: Biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{7}{{10}}\] trên trục số

Lời giải:

Ta biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{7}{{10}}\] trên trục số như sau:

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 đến điểm 1) thành mười phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng 

đơn vị cũ);

• Đi theo chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0, ta lấy ra 7 đơn vị mới đến điểm A. Điểm A biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{7}{{10}}\] (như hình vẽ).

 


 

Luyện tập 2 trang 7 Toán lớp 7 Tập 1: Biểu diễn số hữu tỉ − 0,3 trên trục số.

Lời giải:

Ta có: \[ – \,0,3 = \frac{{ – \,3}}{{10}}\].

Ta biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{{ – \,3}}{{10}}\]trên trục số như sau:

• Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm −1 đến điểm 0) thành mười phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng đơn vị cũ);

• Đi theo ngược chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0, ta lấy ra 3 đơn vị mới đến điểm M. Khi đó, điểm M biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{{ – \,3}}{{10}}\].

Vậy điểm M biểu diễn số hữu tỉ − 0,3 (như hình vẽ).

 


 

Hoạt động 3 trang 7, 8 Toán lớp 7 Tập 1: Quan sát hai điểm biểu diễn các số hữu tỉ \[\frac{{ – 5}}{4}\] và \[\frac{{  5}}{4}\]

trên trục số sau (Hình 4):

 

Nêu nhận xét về khoảng cách từ hai điểm \[\frac{{ – 5}}{4}\]và \[\frac{{ 5}}{4}\] đến điểm gốc 0.

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ trên, khoảng cách từ điểm \[\frac{{ – 5}}{4}\] đến điểm gốc 0 là và khoảng cách từ điểm \[\frac{{ – 5}}{4}\] đến điểm gốc 0 là \[\frac{{5}}{4}\]

.

Vậy khoảng cách từ hai điểm \[\frac{{ – 5}}{4}\] và \[\frac{{5}}{4}\] đến điểm gốc 0 bằng nhau.


 

Luyện tập 3 trang 8 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau: \[\frac{2}{9};\; – 0,5\]

 

Lời giải:

Số đối của \[\frac{2}{9}\]  là \[\frac{{ – 2}}{9}\].

Số đối của − 0,5 là − (−0,5) = 0,5.


 

Hoạt động 4 trang 9 Toán lớp 7 Tập 1:

So sánh:

a) \( – \frac{1}{3}\) và \(\frac{{ – 2}}{5}\)

b) 0,125 và 0,13

c) -0,6 và \(\frac{{ – 2}}{3}\)

 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\( – \frac{1}{3} = \frac{{ – 5}}{{15}};\frac{{ – 2}}{5} = \frac{{ – 6}}{{15}}\)

Vì -5 > -6 nên \(\frac{{ – 5}}{{15}} > \frac{{ – 6}}{{15}}\) hay \( – \frac{1}{3}\) > \(\frac{{ – 2}}{5}\)

b) 0,125 < 0,13 vì chữ số hàng phần trăm của 0,125 là 2 nhỏ hơn chữ số hàng phần trăm của 0,13 là 3

c) Ta có:

\(\begin{array}{l} – 0,6 = \frac{{ – 6}}{{10}} = \frac{{ – 3}}{5} = \frac{{ – 9}}{{15}};\\\frac{{ – 2}}{3} = \frac{{ – 10}}{{15}}\end{array}\)

Vì -9 > -10 nên \(\frac{{ – 9}}{{15}} > \frac{{ – 10}}{{15}}\) hay – 0,6 > \(\frac{{ – 2}}{3}\)

 

Luyện tập 4 trang 9 Toán lớp 7 Tập 1:

So sánh:

a) -3,23 và -3,32

b) \( – \frac{7}{3}\) và -1,25

 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: 3,23 < 3,32 nên -3,23 > -3,32

b) Ta có: \( – \frac{7}{3} = \frac{{ – 28}}{{12}}; – 1,25 = \frac{{ – 125}}{{100}} = \frac{{ – 5}}{4} = \frac{{ – 15}}{{12}}\)

Vì -28 < -15 nên \(\frac{{ – 28}}{{12}} < \frac{{ – 15}}{{12}}\) hay \( – \frac{7}{3}\) < -1,25

 

Hoạt động 5 trang 9, 10 Toán lớp 7 Tập 1:

Giả sử hai điểm a, b lần lượt biểu diễn hai số nguyên a,b trên trục số nằm ngang. Với a < b, nêu nhận xét về vị trí của điểm a so với điểm b trên trục số đó.

 

Lời giải chi tiết:

Nếu a < b thì điểm a nằm bên trái điểm b trên trục số

Chú ý: Nhận xét: Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số hữu tỉ nhỏ hơn nằm bên trái điểm biểu diễn số hữu tỉ lớn hơn.


Bài 1 trang 10 Toán lớp 7 Tập 1:

Các số 13, -29; -2,1; 2,28; \(\frac{{ – 12}}{{ – 18}}\) có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Các số 13, -29; -2,1; 2,28; \(\frac{{ – 12}}{{ – 18}}\) có là số hữu tỉ vì:

\(13 = \frac{{13}}{1}; – 29 = \frac{{ – 29}}{1}; – 2,1 = \frac{{-21}}{{10}};\\2,28 = \frac{{228}}{{100}} = \frac{{57}}{{25}};\frac{{ – 12}}{{ – 18}} = \frac{2}{3}\)

Chú ý: Một số nguyên cũng là một số hữu tỉ.


Bài 2 trang 10 Toán lớp 7 Tập 1: Chọn kí hiệu “∈”, “∉” thích hợp cho

 

a) ;

b)  ;

c)  ;

d)  ;

e)  ;

g)  .

Lời giải:

a) Ta có \[21 = \frac{{21}}{1}\]

Vì 21 viết được dưới dạng \[\frac{{21}}{1}\], với nên 21 là số hữu tỉ.

Vậy .

b) Ta có −7 là số nguyên âm chứ không phải là số tự nhiên.

Vậy .

c) Ta có \[\frac{5}{{ – \,7}}\] không phải là số nguyên.

Vậy .

d) Ta có \[0 = \frac{0}{1}\] .

Vì 0 viết được dưới dạng \[\frac{0}{1}\], với

nên 0 là số hữu tỉ.

Vậy .

e) Ta có \[ – 7,3 = \frac{{ – 73}}{{10}}\,\].

Vì −7,3 viết được dưới dạng \[\frac{{ – 73}}{{10}}\], với

nên −7,3 là số hữu tỉ.

Vậy .

g) Ta có \[3\frac{2}{9} = \frac{{3\,.\,9 + 2}}{9} = \frac{{29}}{9}\].

Vì \[3\frac{2}{9}\] viết được dưới dạng \[\frac{{29}}{9}\], với nên \[3\frac{2}{9}\] là số hữu tỉ.

Vậy .


 

Bài 3 trang 10 Toán lớp 7 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu a ∈ ℕ thì a ∈ ℚ

b) Nếu a ∈ ℤ thì a ∈ ℚ

c) Nếu a ∈ ℚ thì a ∈ ℕ

d) Nếu a ∈ ℚ thì a ∈ ℤ

e) Nếu a ∈ ℕ thì a ∉ ℚ

g) Nếu a ∈ ℤ thì a ∉ ℚ

Lời giải:

a) Mọi số tự nhiên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số \[\frac{a}{1}\].

Khi đó, nếu a là số tự nhiên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu thì ” là đúng.

b) Mọi số nguyên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số \[\frac{a}{1}\].

Khi đó, nếu a là số nguyên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu thì ” là đúng.

c) Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể là số tự nhiên.

Ví dụ: 2 vừa là số hữu tỉ vừa là số tự nhiên.

Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể không phải là số tự nhiên.

Ví dụ: \[\frac{1}{2}\]là số hữu tỉ nhưng không phải là số tự nhiên.

Khi đó, nếu a là số hữu tỉ thì a chưa chắc là số tự nhiên.

Do đó phát biểu “Nếu thì ” là sai.

d) Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể là số nguyên.

Ví dụ: −5 vừa là số hữu tỉ vừa là số nguyên.

Nếu a là số hữu tỉ thì a có thể không phải là số nguyên.

Ví dụ: là số hữu tỉ nhưng không phải là số nguyên.

Khi đó, nếu a là số hữu tỉ thì a chưa chắc là số nguyên.

Do đó phát biểu “Nếu thì ” là sai.

e) Mọi số tự nhiên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số \[\frac{a}{1}\].

Khi đó, nếu a là số tự nhiên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu thì ” là sai.

g) Mọi số nguyên a bất kỳ đều biểu diễn được dưới dạng phân số \[\frac{a}{1}\].

Khi đó, nếu a là số nguyên thì a cũng là số hữu tỉ.

Do đó phát biểu “Nếu thì ” là sai.

Vậy các phát biểu đúng là: a, b và các phát biểu sai là: c, d, e, g.


 

Bài 4 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1: Quan sát trục số sau và cho biết các điểm A, B, C, D biểu diễn những số nào:

 

Lời giải:

Mỗi đoạn thẳng đơn vị được chia thành 7 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng \[\frac{1}{7}\] đơn vị cũ).

* Đi theo ngược chiều dương với trục số, bắt đầu từ điểm 0:

– Điểm A chiếm 9 phần nên điểm A biểu diễn số \[\frac{{ – \,9}}{7}\].

– Điểm B chiếm 3 phần nên điểm B biểu diễn số \[\frac{{ – \,3}}{7}\]

* Đi theo chiều dương của trục số, bắt đầu từ điểm 0:

– Điểm C chiếm 2 phần nên điểm C biểu diễn số \[\frac{2}{7}\].

– Điểm D chiếm 6 phần nên điểm D biểu diễn số \[\frac{6}{7}\].

Vậy các điểm A, B, C, D lần lượt biểu diễn các số \[\frac{{ – \,9}}{7};\,\,\frac{{ – \,3}}{7};\,\,\frac{2}{7};\,\,\frac{6}{7}\].


 

Bài 5 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1:

Tìm số đối của mỗi số sau: \(\frac{9}{{25}};\,\frac{{ – 8}}{{27}};\, – \frac{{15}}{{31}};\frac{5}{{ – 6}};\,3,9;\, – 12,5\).

Lời giải chi tiết

Số đối của các số \(\frac{9}{{25}};\,\frac{{ – 8}}{{27}};\, – \frac{{15}}{{31}};\frac{5}{{ – 6}};\,3,9;\, – 12,5\) lần lượt là:

\( – \frac{9}{{25}};\,\frac{8}{{27}};\,\frac{{15}}{{31}};\frac{5}{6};\, – 3,9;\,12,5\).


 

Bài 6 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1:

Biểu diễn số đối của mỗi số đã cho trên trục số sau:

Lời giải chi tiết

Số đối của \(\dfrac{-5}{6}\) là \(\dfrac{5}{6}\)

Số đối của \(\dfrac{-1}{3}\) là \(\dfrac{1}{3}\)

Số đối của \(0\) là \(0\)

Số đối của \(1\) là \(-1\)

Số đối của \(\dfrac{7}{6}\) là \(\dfrac{-7}{6}\)


 

Bài 7 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1:

So sánh:

a)\(2,4\) và \(2\frac{3}{5}\);

b) \( – 0,12\) và \( – \frac{2}{5}\)

c)\(\frac{{ – 2}}{7}\) và \( – 0,3\).

Lời giải chi tiết

a)\(2,4 =\frac{24}{10}=\frac{{12}}{5}\) và \(2\frac{3}{5} = \frac{{13}}{5}\)

Ta có: \(\frac{{12}}{5} < \frac{{13}}{5} \Rightarrow 2,4 < 2\frac{3}{5}\).

b) \( – 0,12 = -\frac{12}{100}= – \frac{3}{{25}}\) và \( – \frac{2}{5} = – \frac{{10}}{{25}}\)

Ta có: -3 > -10 nên \( – \frac{3}{{25}} > – \frac{{10}}{{25}}\) nên \( – 0,12 > – \frac{2}{5}\).

c)\(\frac{{ – 2}}{7} = \frac{{ – 20}}{{70}}\) và \( – 0,3 = \frac{{ – 3}}{{10}} = \frac{{ – 21}}{{70}}\).

Do -20 > -21 nên \(\frac{{ – 20}}{{70}} > \frac{{ – 21}}{{70}}\) nên \(\frac{{ – 2}}{7} > – 0,3.\)


 

Bài 8 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: \(\frac{{ – 3}}{7};\,0,4;\, – 0,5;\,\frac{2}{7}\).

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: \(\frac{{ – 5}}{6};\, – 0,75;\, – 4,5;\, – 1\).

 

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{ – 3}}{7} = \frac{{ – 6}}{{14}} ; \frac{{ – 1}}{2}=\frac{{ – 7}}{{14}} ;\\\,\frac{2}{5} = \frac{{14}}{{35}}; \frac{2}{7}=\frac{{10}}{{35}} \end{array}\)

Vì -7 < -6 < 0 nên \(\frac{{ – 7}}{{14}}<\frac{{ – 6}}{{14}}<0\)

Vì 0<10<14 nên \(0<\frac{{10}}{{35}}<\frac{{14}}{{35}}\)

Do đó: \(\frac{{ – 7}}{{14}} < \frac{{ – 6}}{{14}} < \frac{{10}}{{35}} < \frac{{14}}{{35}}\)

=> Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: \(\frac{{ – 1}}{2};\,\frac{{ – 3}}{7};\,\frac{2}{7};\frac{2}{5}\)

b) Ta có: \(\frac{{ – 5}}{6} = – 0,8\left( 3 \right)\)

Mà \( – 0,75 > – 0,8\left( 3 \right) > – 1 > – 4,5\).

=>Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: \( – 0,75;\frac{{ – 5}}{6}; – 1; – 4,5\)


 

Bài 9 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1: Bạn Linh đang cân khối lượng của mình (Hình 6), ở đó các vạch ghi 46 và 48 lần lượt ứng với các số đo 46 kg và 48 kg. Khi nhìn vị trí mà chiếc kim chỉ vào, bạn Minh đọc số đo là 47,15 kg, bạn Dương đọc số đo là 47,3 kg, bạn Quân đọc số đo là 47,65 kg. Bạn nào đã đọc đúng số đo? Vì sao?

 

Lời giải:

Từ vạch ghi 46 đến vạch ghi 48 lần lượt ứng với các số đo 46 kg và 48 kg thì vạch đậm chính giữa hai vạch này chỉ số đo 47 kg.

Từ vạch chỉ số đo 47 kg đến vạch chỉ số đo 48 kg được chia thành 10 đoạn nhỏ nên mỗi đoạn tương ứng với 0,1 kg.

Do đó, chiếc cân chỉ 47,3 kg.

Vậy bạn Dương đã đọc đúng số đo.


 

Bài 10 trang 11 Toán lớp 7 Tập 1: Cô Hạnh dự định xây tầng hầm cho ngôi nhà của gia đình. Một công ty tư vấn xây dựng đã cung cấp cho cô Hạnh lựa chọn một trong sáu số đo chiều cao của tầng hầm như sau: 2,3 m; 2,35 m; 2,4 m; 2,55 m; 2,5 m; 2,75 m. Cô Hạnh dự định chọn chiều cao của tầng hầm lớn hơn \[\frac{{13}}{5}\]m để đảm bảo ánh sáng, thoáng đãng, cân đối về kiến trúc và thuận tiện trong sử dụng. Em hãy giúp cô Hạnh chọn đúng số đo chiều cao của tầng hầm.

Lời giải:

Ta có \[\frac{{13}}{5} = 2,6\]

Cô Hạnh dự định chọn chiều cao của tầng hầm lớn hơn \[\frac{{13}}{5}\]m hay chiều cao lớn hơn 2,6 m.

Mà trong sáu lựa chọn mà công ty tư vấn xây dựng đã đưa ra cho cô Hạnh thì chỉ có chiều cao 2,75 m lớn hơn 2,6 m.

Vậy số đo chiều cao của tầng hầm cô Hạnh cần chọn là 2,75 m.

 

Giải bài tập Toán 7 – Cánh Diều

 

Giải Toán lớp 7 Tập 2

 

 

 

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ – Toán 7 – Cánh Diều