Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

 

1. Đơn thức nhiều biến

Đơn thức nhiều biến (hay đơn thức) là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Số 0 được gọi là đơn thức không.

Ví dụ: \(1;2xy; – \frac{3}{4}{x^2}y( – 4x);…\) là các đơn thức.

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương và chỉ được viết một lần.

Ví dụ:

\(1;2xy;5{x^2}{y^4}z;…\) là các đơn thức thu gọn.

\(3{x^2}yx; – \frac{3}{4}{x^2}y( – 4x);…\) không phải là các đơn thức thu gọn.

Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ: đơn thức \(3{x^3}.y\) có hệ số là 3, phần biến là \({x^3}.y\).

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ:

Hai đơn thức \(5{x^2}{y^4}z\) và \( – \frac{1}{3}{x^2}{y^4}z\) có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là hai đơn thức đồng dạng.

Hai đơn thức \(5{x^2}{y^4}z\) và \(5x{y^2}z\) không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}2{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2} = 6{x^3}{y^2}\\4a{y^2} – 3a{y^2} = a{y^2}\end{array}\)

2. Đa thức nhiều biến

Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là một tổng của những đơn thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức được gọi là một đa thức.

Ví dụ: \({x^2} – 4x + 3;{x^2}\; + {\rm{ }}3xy{z^2}\; – {\rm{ }}yz{\rm{ }} + {\rm{ }}1;\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right){\rm{ }} + \left( {2x{\rm{ }}–{\rm{ }}y} \right)\) là đa thức.

\(\frac{{x + y}}{{x – y}},\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} – {y^2}}}\) không phải là đa thức.

Thu gọn đa thức nhiều biến là làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} – 2{x^2}y – {x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}\\\,\,\,\,\, = {x^3} – 3{x^2}y – 3x{y^2} – {y^3}\end{array}\)

Tính giá trị của đa thức

Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Giá trị của biểu thức \({x^2} – 4xy + 3{y^2}\) tại x = 2, y = 1 là: \({2^2} – 4.2.1 + {3.1^2} = – 1\)

 

 


Hoạt động 1 trang 5 Toán 8 Tập 1:

 

 

a) Viết biểu thức biểu thị:

– Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x (cm);

– Diện tích của hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x (cm), 3y (cm);

– Thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm).

b) Cho biết mỗi biểu thức trên gồm những số, biến và phép tính nào.

Lời giải:

a) Biểu thức biểu thị:

– Hình vuông có độ dài cạnh là x (cm) thì diện tích hình vuông đó là: x2 (cm2).

– Hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x (cm), 3y (cm) thì diện tích hình chữ nhật đó là: 2x . 3y = (2 . 3) ( x . y) = 6xy (cm2).

– Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm) thì thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

x . 2y . 3z = (2 . 3) (x . y . z) = 6xyz (cm3).

b) • Biểu thức x2 gồm phần số là 1, phần biến là x2 và phép tính là phép nâng lên lũy thừa.

• Biểu thức 6xy gồm phần số là 6, phần biến là xy và phép tính là phép nhân.

• Biểu thức 6xyz gồm phần số là 6, phần biến là xyz và phép tính là phép nhân.

 


Luyện tập 1 trang 6 Toán 8 Tập 1:

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức: \(5y;y + 3{\rm{z}};\dfrac{1}{2}{x^3}{y^2}{x^2}z\)

Phương pháp giải:

Xem xét những biểu thức chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và biến là các đơn thức.

Lời giải :

Những biểu thức là đơn thức là: \(5y;\dfrac{1}{2}{x^3}{y^2}{x^2}z\).

 

Hoạt động 2 trang 6 Toán 8 Tập 1: Xét đơn thức 2x3y4. Trong đơn thức này, các biến x, y được viết bao nhiêu lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương?

 

 

Lời giải:

Trong đơn thức 2x3y4

• Biến x được viết một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương là 3.

• Biến y được viết một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương là 4.

 

Luyện tập 2 trang 6 Toán 8 Tập 1:

Thu gọn mỗi đơn thức sau: \({y^3}{y^2}z\);\(\dfrac{1}{3}x{y^2}{x^3}z\)

Lời giải :

\({y^3}{y^2}z = {y^5}z\)

\(\dfrac{1}{3}x{y^2}{x^3}z = \dfrac{1}{3}{x^4}{y^2}z\)

HĐ 3

Cho hai đơn thức: \(2{{\rm{x}}^3}{y^4}\) và \( – 3{{\rm{x}}^3}{y^4}\)

a) Nêu hệ số của mỗi đơn thức trên.

b) So sánh phần biến của hai đơn thức trên

Lời giải :

a) Đơn thức: \(2{{\rm{x}}^3}{y^4}\) có hệ số là 2

Đơn thức: \( – 3{{\rm{x}}^3}{y^4}\) có hệ số là -3

b) Hai đơn thức \(2{{\rm{x}}^3}{y^4}\) và \( – 3{{\rm{x}}^3}{y^4}\) có cùng phần biến là: \({{\rm{x}}^3}{y^4}\)

LT 3

Các đơn thức trong mỗi trường hợp sau có đồng dạng hay không? Vì sao?

a) \({x^2}{y^4}; – 3{{\rm{x}}^2}{y^4}\) và \(\sqrt 5 {x^2}{y^4}\)

b) \( – {x^2}{y^2}{z^2}\) và \( – 2{{\rm{x}}^2}{y^2}{z^3}\)

Lời giải :

a) Những đơn thức \({x^2}{y^4}; – 3{{\rm{x}}^2}{y^4}\) và \(\sqrt 5 {x^2}{y^4}\) có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là những đơn thức đồng dạng.

b) Những đơn thức \( – {x^2}{y^2}{z^2}\) và \( – 2{{\rm{x}}^2}{y^2}{z^3}\)không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

HĐ 4

a) Tính tổng: \(5{{\rm{x}}^3} + 8{{\rm{x}}^3}\)

b) Tính hiệu \(10y^7 – 15y^7\)

Lời giải :

a) \(5{{\rm{x}}^3} + 8{{\rm{x}}^3} = (5 + 8){x^3} = 13{{\rm{x}}^3}\)

b) \(10y^7 – 15y^7 = (10 – 15)y^7 = -5y^7\)

LT 4

Thực hiện các phép tính:

\(a)4{{\rm{x}}^4}{y^6} + 2{{\rm{x}}^4}{y^6}\)

\(b)3{{\rm{x}}^3}{y^5} – 5{{\rm{x}}^3}{y^5}\)

Lời giải :

\(a)4{{\rm{x}}^4}{y^6} + 2{{\rm{x}}^4}{y^6} = \left( {4 + 2} \right){x^4}{y^6} = 6{{\rm{x}}^4}{y^6}\)

\(b)3{{\rm{x}}^3}{y^5} – 5{{\rm{x}}^3}{y^5} = \left( {3 – 5} \right){x^3}{y^5} = – 2{{\rm{x}}^3}{y^5}\)


 

HĐ 5

Cho biểu thức: \({x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}\)

a) Biểu thức trên có bao nhiêu biến?

b) Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng như thế nào?

Phương pháp giải:

Đếm số biến của biến thức

Lời giải :

a) Biểu thức: \({x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}\) có 2 biến là x, y.

b) Các số hạng của biểu thức là: \({x^2};2{\rm{x}}y;{y^2}\)đều có dạng là những đơn thức.

 

LT 5

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức: \(y + 3{\rm{z}} + \dfrac{1}{2}{y^2}z;\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}\)

Lời giải :

Biểu thức: \(y + 3{\rm{z}} + \dfrac{1}{2}{y^2}z\)là đa thức

Biểu thức: \(\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}\) không phải là đa thức

 

HĐ 6

Cho đa thức: \(P = {x^3} + 2{{\rm{x}}^2}y + {x^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} + {y^3}\)

Thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng sao cho đa thức P không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Phương pháp giải:

Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi thực hiện phép tính cộng.

Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi thực hiện phép tính cộng

Lời giải :

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^3} + 2{{\rm{x}}^2}y + {x^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} + {y^3}\\P = {x^3} + \left( {2{{\rm{x}}^2}y + {x^2}y} \right) + 3{\rm{x}}{y^2} + {y^3}\\P = {x^3} + 3{{\rm{x}}^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} + {y^3}\end{array}\)

LT 6

Thu gọn đa thức: \(R = {x^3} – 2{{\rm{x}}^2}y – {x^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} – {y^3}\)

Lời giải :

Ta có:

\(\begin{array}{l}R = {x^3} – 2{{\rm{x}}^2}y – {x^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} – {y^3}\\R = {x^3} + \left( { – 2{{\rm{x}}^2}y – {x^2}y} \right) + 3{\rm{x}}{y^2} – {y^3}\\R = {x^3} – 3{{\rm{x}}^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} – {y^3}\end{array}\)

HĐ 7

Cho đa thức: \(P = {x^2} – {y^2}\). Đa thức P được xác định bằng biểu thức nào? Tính giá trị của P tại x = 1; y = 2

Lời giải :

Đa thức P được xác định bằng biểu thức: \({x^2} – {y^2}\)

Thay x = 1; y = 2 vào đa thức P ta được:

\(P = {1^2} – {2^2} = 1 – 4 = -3\)

Vậy đa thức P = -3 tại x = 1; y=2

LT 7

Tính giá trị của đa thức: \(Q = {x^3} – 3{{\rm{x}}^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} – {y^3}\) tại x = 2; y = 1

Phương pháp giải:

Thay các giá trị x = 2; y = 1 vào đa thức Q rồi thực hiện phép tính.

Lời giải :

Thay x = 2; y = 1 vào đa thức Q ta được:

\(Q = {2^3} – {3.2^2}.1 + {3.2.1^3} – {1^3} = 8 – 12 + 6 – 1 = 1\)

Vậy đa thức Q = 1 tại x = 2; y = 1


 

Bài 1 trang 9 Toán 8 Tập 1:

a) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức:

\(\dfrac{1}{5}x{y^2}{z^3};3 – 2{{\rm{x}}^3}{y^2}z; – \dfrac{3}{2}{x^4}{\rm{yx}}{{\rm{z}}^2};\dfrac{1}{2}{x^2}\left( {{y^3} – {z^3}} \right)\)

b) Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức:

\(2 – x + y; \dfrac{{x – y}}{{x{y^2}}};- 5{{\rm{x}}^2}y{z^3} + \dfrac{1}{3}x{y^2}z + x + 1; \dfrac{1}{x} + 2y – 3{\rm{z}}\)

 

Lời giải chi tiết

a) Các biểu thức: \(\dfrac{1}{5}x{y^2}{z^3}; – \dfrac{3}{2}{x^4}{\rm{yx}}{{\rm{z}}^2}\) là đơn thức

b) Các biểu thức: \(2 – x + y; – 5{{\rm{x}}^2}y{z^3} + \dfrac{1}{3}x{y^2}z + x + 1\) là đa thức


 

Bài 2 trang 9 Toán 8 Tập 1:

Thu gọn mỗi đơn thức sau:

a) \( – \dfrac{1}{2}{x^2}yx{y^3}\)

b) \(0,5{{\rm{x}}^2}{\rm{yzx}}{y^3}\)

Lời giải chi tiết

a) \( – \dfrac{1}{2}{x^2}yx{y^3} = – \dfrac{1}{2}{x^3}{y^4}\)

b) \(0,5{{\rm{x}}^2}{\rm{yzx}}{y^3} = 0,5{{\rm{x}}^3}{y^4}z\)


Bài 3 trang 9 Toán 8 Tập 1:

Các đơn thức trong mỗi trường hợp sau có đồng dạng hay không? Vì sao?

a) \({x^3}{y^5}; – \dfrac{1}{6}{x^3}{y^5}\) và \(\sqrt 3 {x^3}{y^5}\)

b) \({x^2}{y^3}\) và \({x^2}{y^7}\)

 

Lời giải chi tiết

a) Các đơn thức: \({x^3}{y^5}; – \dfrac{1}{6}{x^3}{y^5}\) và \(\sqrt 3 {x^3}{y^5}\) có phần hệ số khác 0 và có cùng phần biến là những đơn thức đồng dạng.

b) Các đơn thức: \({x^2}{y^3}\) và \({x^2}{y^7}\) không có cùng phần biến nên chúng không phải những đơn thức đồng dạng.


Bài 4 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) 9x3y6 + 4x3y6 + 7x3y6;

b) 9x5y6 – 14x5y6 + 5x5y6.

 

 

Lời giải:

a) 9x3y6 + 4x3y6 + 7x3y6 = (9 + 4 + 7)x3y6 = 20x3y6;

b) 9x5y6 – 14x5y6 + 5x5y6 = (9 – 14 + 5)x5y6 = 0.


Bài 5 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thu gọn mỗi đa thức sau:

a) A = 13x2y + 4 + 8xy – 6x2y – 9;

b) B = 4,4x2y – 40,6xy2 + 3,6xy2 – 1,4x2y – 26.

 

 

Lời giải:

Thu gọn mỗi đa thức, ta được:

a) A = 13x2y + 4 + 8xy – 6x2y – 9

= (13x2y – 6x2y) + 8xy + (4 – 9)

= 7x2y + 8xy – 5

b) B = 4,4x2y – 40,6xy2 + 3,6xy2 – 1,4x2y – 26

= (4,4x2y – 1,4x2y) – (40,6xy2 – 3,6xy2) – 26

= 3x2y – 37xy2 – 26.

 


Bài 6 trang 10 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của đa thức P = x3y – 14y3 – 6xy2 + y + 2 tại x = –1; y = 2.

 

 

Lời giải:

Giá trị của đa thức P = x3y – 14y3 – 6xy2 + y + 2 tại x = –1; y = 2 là:

(–1)3 . 2 – 14 . 23 – 6. (–1) . 22 + 2 + 2

= (–1) . 2 – 14 . 8 – 6. (–1) . 4 + 2 + 2

= –2 – 112 + 24 + 2 + 2 = –86.


 

Bài 7 trang 10 Toán 8 Tập 1:

a) Viết đa thức S biểu thị tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm).

b) Tính giá trị của S tại x = 6; y = 2; z = 3.

 

 

Lời giải:

a) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm). Khi đó:

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:

(x + 2y) . 3z = 3xz + 6yz (cm2).

Diện tích hai đáy của hình hộp chữ nhật đó là:

2 . x . 2y = 4xy (cm2).

Tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật là:

4xy + 3xz + 6yz (cm2).

Vậy đa thức S biểu thị tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật đã cho là:

S = 4xy + 3xz + 6yz (cm2).

b) Giá trị của S tại x = 6; y = 2; z = 3 là:

4 . 6 . 2 + 3 . 6 . 3 + 6 . 2 . 3 = 48 + 54 + 36 = 138.

 

 

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 1

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 2

 

 

 

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

 

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến – Chương 1 – Toán 8 – Cánh Diều